límite de una integral con una función de Lorentzian

Question

Queremos calcular el $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x^2 + \epsilon^2} dx $ $f(x)$ tal función que $f(0)=0$. Somos físico, así que la función $f(x)$ es bastante suave. Después de varios ensayos, no hemos sido capaces de calcular, salvo numéricamente. Parece que el Lorentzian normal que tiende a la función de dirac, pero falta un $\epsilon$.

Nos preguntamos si esta integral puede escribirse en una forma simple como función de $f(0)$ o su derivados $f^{(n)}(0)$ en 0.

Muchas gracias.

Answer 1

Supondré que $f$ tiene soporte compacto (aunque es suficiente para suponer que $f$ disminuye muy rápido). Tiene como $f(0)=0$ $f(x)=xg(x)$ % lisa $g$. Que $g=h+k$, donde $h$ está incluso y $k$ es impar. $k(0)=0$, Otra vez $k(x)=xm(x)$ % lisa $m$.

Tenemos $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x^2 + \epsilon^2} dx =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{xg(x)}{x^2 + \epsilon^2} dx =\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(h(x)+xm(x))}{x^2 + \epsilon^2} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2m(x)}{x^2 + \epsilon^2} dx $ $ (el integral involing $h$ es $0$ por razones de paridad) y %#% $ de #% la última integral converge a $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2m(x)}{x^2 + \epsilon^2} dx=\int_{-\infty}^{\infty} m(x)dx-\int_{-\infty}^{\infty} \frac{m(x)}{(x/\epsilon)^2 + 1} dx. $, por lo que el límite es de $0$ donde (recuerdo) $\int_{-\infty}^{\infty} m(x)dx$ $

Answer 2

Deje $f$ ser suave, con un tamaño compacto. Considere la posibilidad de la doble capa de potencial (hasta un constante) $$ u(x_1,x_2)=-2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x_2}\Gamma(x_1-y_1,x_2)f(y_1)\,dy_1= $$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x_2f(y_1)}{x^2 + x_2^2} dx, $$ donde $\Gamma(x)=-\frac1{2\pi}\log|x|$ es una solución fundamental de la ecuación de Laplace. Como es sabido $u$ es suave, hasta el límite para el buen $f$. Tenemos $$ \frac{\partial u(0,0)}{\partial x_2}= \lim_{\epsilon \a 0+} \frac{u(0,\epsilon)-u(0,0)}\epsilon= \lim_{\epsilon \a 0+} \frac{u(0,\epsilon)-f(0)}\epsilon= \lim_{\epsilon \a 0+}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ f(y_1)}{x^2 + \epsilon^2} dx, $$ cual es el valor requerido. Para calcular la nota que $$ \frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2} = -2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\Gamma(x_1-y_1,x_2)f(y_1)\,dy_1= $$ $$ 2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial^2}{\partial y_1^2}\Gamma(x_1-y_1,x_2)f(y_1)\,dy_1= 2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma(x_1-y_1,x_2)f"(y_1)\,dy_1 $$ debido a $\Gamma$ satisface la ecuación de Laplace. La última integral converge uniformemente para $|x|\le 1$ por lo que el límite de $x\to0$ da $$ \frac{\partial u(0,0)}{\partial x_2}=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma(0-y,0)f"(y)\,dy_1=-\int_{-\infty}^{\infty}\log|y|f"(y)\,dy. $$