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Estoy buscando libros de texto de álgebra/matemáticas de secundaria dirigidos a estudiantes con talento, como preparación para un cálculo totalmente riguroso à la Spivak. Me interesan los mejores materiales disponibles en inglés, francés, alemán o hebreo.
Lo ideal sería que el libro o los libros ofrecieran una introducción completa al álgebra en este nivel, partiendo de las operaciones más básicas con polinomios. Debería incluir la teoría necesaria (por ejemplo, el teorema del resto de Bezout sobre los polinomios, la demostración del teorema fundamental de la aritmética, el algoritmo de Euclides, una discusión más honesta de lo habitual sobre los números reales, demostraciones de las propiedades de los exponentes racionales, etc., y una actitud general de que todos los enunciados deben demostrarse, con pocas excepciones). También debe tener problemas que vayan desde ejercicios que familiaricen a los alumnos con las manipulaciones algebraicas básicas de los polinomios hasta otros mucho más difíciles.
En concreto, estoy buscando algo similar en espíritu a una serie de excelentes libros rusos de Vilenkin para estudiantes de las llamadas "escuelas de matemáticas" de los grados 8 a 11, aunque sólo estoy buscando el equivalente a los libros de los grados 8 y 9, que son de nivel de precálculo. Para que te hagas una idea, aquí tienes una muestra de problemas típicos del libro de 8º grado.
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Realiza las operaciones indicadas. $\frac{3p^2mq}{2a^2 b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2 y^2} : \frac{9a^2 b^2 c^3}{28pxy}$
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Demostrar que cuando $a \ne 0$ el polinomio $x^{2n} + a^{2n}$ no es divisible ni por $x + a$ ni por $x - a$ .
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Demostrar que si $a + b + c = 0$ entonces $a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c) (b + c) = 0$ .
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Demostrar que si $a > 1$ entonces $a^4 + 4$ es un número compuesto.
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Demostrar que si $n$ es relativamente primo de $6$ entonces $n^2 - 1$ es divisible por 24.
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Simplifique $\sqrt{36x^2}$ .
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Simplifique $\sqrt{12 + \sqrt{63}}$ .
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Demuestra que la diferencia de las raíces de la ecuación $5x^2 -2(5a + 3)x + 5a^2 + 6a + 1 = 0$ no depende de $a$ .
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Resuelve la desigualdad $|x - 6| \leq |x^2 - 5x + 2|$ .
Y aquí están los títulos de los capítulos de los libros de octavo y noveno grado.
Grado 8: Fracciones. Polinomios. Divisibilidad; números primos y compuestos. Números reales. Ecuaciones cuadráticas; sistemas de ecuaciones no lineales; resolución de inecuaciones.
Grado 9: Elementos de la teoría de conjuntos. Funciones. Potencias y raíces. Ecuaciones e inecuaciones, y sistemas de las mismas. Secuencias. Elementos de trigonometría. Elementos de combinatoria y teoría de la probabilidad.
En otros lugares se han planteado preguntas muy similares, pero las sugerencias que allí se hacen no son satisfactorias para mis propósitos.
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Las traducciones al inglés de los libros de Gelfand son buenas; sin embargo, no son una introducción suficientemente amplia al álgebra de la escuela secundaria, y no tienen suficiente material sobre la técnica computacional. Son más bien complementos de un libro de texto ordinario.
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Se han sugerido algunos libros del siglo XIX como Hall y Knight. En cuanto al material conceptual, suelen ser demasiado antiguos en cuanto a lenguaje y perspectiva.
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Matemáticas básicas de Serge Lang parece más bien un chapoteo en varios temas que una introducción exhaustiva al álgebra.
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No me inclino por los libros con una orientación muy marcada hacia las "Nuevas Matemáticas" (Francia 1971-1983, por ejemplo). No creo que un estudiante deba entender el grupo de transformaciones afines de $\mathbb{R}$ para saber qué es una línea.
Además, las preguntas anteriores quizás se han centrado implícitamente en el material en inglés. Estoy pensando en un estudiante que también pueda leer fácilmente en francés, alemán o hebreo si se puede encontrar algo mejor en esos idiomas.
Editar. Me gustaría aclarar que no estoy pidiendo algo idéntico a estos libros, sólo algo lo más cercano posible a su espíritu. Fundamentalmente, esto significa: 1. Que sea un sustituto, y no sólo un complemento, de un libro de texto de álgebra escolar normal. 2. Está dirigido a los alumnos más capaces. 3. 3. Transmite el mensaje de que las pruebas y la resolución creativa de problemas son fundamentales para las matemáticas.
