Si $[G' : G'']\leq p^2$, entonces el $G'$ es abeliano.

Question

Problema: $G$ ser un grupo de p y $G'$ indicar el subgrupo conmutador de $G$. Si $[G' : G'']\leq p^2$, entonces el $G'$ es abeliano.

Es fácil demostrar que para el caso de $[G' : G'']=1$ puesto que G es soluble. Pero es difícil de probar los otros casos. Por favor darme consejos ni soluciones. Gracias de antemano.

Answer 1

Considerar el inferior central de la serie $G=\gamma_1(G) > \gamma_2(G) > \cdots > \gamma_{c+1}(G) =1$ $G$. Tenga en cuenta que $G' = \gamma_2(G)$.

$\gamma_2(G)/\gamma_4(G)$ Que es abeliano y por lo tanto hemos terminado a menos que $c \ge 4$ y $|\gamma_2(G)/\gamma_3(G)|=|\gamma_3(G)/\gamma_4(G)|=p$.

$[\gamma_2(G),\gamma_3(G)] \le \gamma_5(G)$ % Que $\gamma_3(G)/\gamma_5(G) \le Z(\gamma_2(G)/\gamma_5(G)$. Pero entonces, puesto que $\gamma_2(G)/\gamma_3(G)$ tiene orden $p$ y por lo tanto, es cíclico, $\gamma_2(G)/\gamma_5(G)$ es abeliano y orden mayor que $p^2$, contradicción.