¿Dónde está la ruptura de la simetría GUT $U(1)$ ¿de dónde viene?

Question

En las GUTs se comienza con algún grupo mayor, como $SU(5)$ que luego se divide en grupos más pequeños, por ejemplo

$$SU(5) ~\longrightarrow~ SU(3) \times SU(2) \times U(1)$$

Esto puede verse, por ejemplo, observando el diagrama de Dynkin para $SU(5)$ : Eliminando un nodo nos quedan los diagramas de Dynkin para $SU(3)$ y $SU(2)$ .

Mi problema es entender dónde $U(1)$ viene de. He leído varias afirmaciones al respecto, pero no he podido encajar las piezas del puzzle. Los diagramas de Dynkin están al nivel de las álgebras de Lie. Eliminar un nodo significa que eliminamos un generador. Por ejemplo, en este folleto de 2010 del curso Simetrías en física por Michael Flohr:

Al eliminar un nodo, el rango de la subálgebra se reduce en uno, y las raíces simples son un subconjunto de las raíces simples originales. En el nivel de los grupos, encontramos pues, $$G=G_1\times G_2 \times U(1),$$ donde el adicional $U(1)$ proviene del generador de Cartan que queda fuera. Por ejemplo, $SU(n+m)$ puede reducirse de este modo a $$SU(n)\times SU(m)\times U(1).$$ Este es el ansatz clásico para una GUT: $SU(5)$ se rompe en $$SU(3)\times SU(2)\times U(1).$$

• En este documento de John Baez se afirma que $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ no es un subgrupo de $SU(5)$ y se utiliza algún homomorfismo para justificar por qué $U(1)$ aparece.

---

EDITAR:

En Lie Algebras In Particle Physics: from Isospin To Unified Theories Georgi escribe:

"El generador de Cartan que se ha dejado fuera genera factores U(1)"

y mi problema es entender por qué es así.

¡Cualquier idea para aclarar esto sería genial!

Answer 1

1. La Ref. 1 no parece mencionar una ruptura de simetría $U(1)$ que debe pertenecer a la parte de $SU(5)$ que es no en el modelo estándar. En esta respuesta, supondremos que el OP está preguntando realmente por el hipercarga débil $U(1)$ factor de calibre del modelo estándar.

2. A nivel del álgebra de Lie, recordemos que el álgebra de Lie $su(n)$ consiste en la traza hermitiana $n\times n$ matrices y tiene rango $n-1$ . En la inclusión $$\underbrace{su(n)}_{\text{rank } n-1} \oplus \underbrace{su(m)}_{\text{rank } m-1} \oplus u(1)~\subset~ \underbrace{su(n+m)}_{\text{rank } n+m-1},$$ la máxima subálgebra abeliana [de las diagonales hermitianas sin trazos $(n+m)\times(n+m)$ matrices] es la misma en ambos lados. El álgebra de Lie del lado izquierdo (derecho) es reductor ( simple ), respectivamente. Un generador de Cartan sin trazos para el anterior $u(1)$ es
   $$\begin{pmatrix} -m{\bf 1}_{n\times n} & 0 \cr 0 & n{\bf 1}_{m\times m} \end{pmatrix}~\in~su(n+m).$$

3. La Ref. 1 señala que la Mentira homomorfismo de grupo $$G~:=~SU(3) \times SU(2) \times U(1)~\ni~ (g,h,\alpha)\stackrel{\Phi}{\mapsto} \begin{pmatrix} \alpha^{-2}g & 0 \cr 0 & \alpha^3 h \end{pmatrix}~\in~ SU(5) $$ es no inyectiva . Aquí el $U(1)$ es la hipercarga débil $U(1)$ . De hecho, el núcleo $${\rm Ker}(\Phi) ~\cong~\mathbb{Z}_6,$$ es generado por el elemento $$\left(e^{i2\pi/3}{\bf 1}_{3\times 3},~-{\bf 1}_{2\times 2},~e^{i\pi/3}\right)~\in~G.$$ El grupo de Lie $G$ es no un subgrupo de $SU(5)$ pero el grupo cociente $G/{\rm Ker}(\Phi)$ es un subgrupo de $SU(5)$ .

Referencias:

1. J.C. Baez, Manifolds de Calabi-Yau y el modelo estándar, arXiv:hep-th/0511086 .