Prueba de que funciones analíticas definidas en un anillo tienen una representación de Laurent

Question

Estoy tratando de seguir la prueba de Ahlfors que cualquier función analítica definida en un anillo $R_1 < |z-a| < R_2$ tendrá una representación de Laurent. Para ello, define dos funciones:

$$f_1(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $ | z-a | < i < R_2 $ } $ $

$$f_2(z) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta - a|=r} \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $ R_1 < r < | z-a | % $ $}$

y dice que sigue de teorema integral de Cauchy que $f(z) = f_1(z) + f_2(z)$. Me preguntaba si alguien podría explicarme por qué esto es cierto.

¿También, debo asumir que $f_1$ se define como el $0$ $|z-a| \geq r$ y $f_2=0$ $|z-a| \leq r$?

Answer 1

Usted puede considerar la unión de $C$ de los dos círculos (donde el exterior, está orientado de una manera y en el interior de la manera opuesta) como un ciclo (es decir, formal suma de las rutas con límite cero). Cauchy teorema dice que si la liquidación número es cero fuera del dominio en cuestión (es decir, fuera del anillo), entonces la integral sobre la $C$$\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}$$2\pi f(z) n_C(z)$. La forma en que los dos círculos están orientados va a implicar que $C $ cero liquidación números sobre cada punto fuera del anillo, por lo que tenemos $$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d \zeta,$$ que es lo que quieres.

Answer 2

Esto es confuso porque hay dos diferentes $r$'s con el mismo nombre. Quiero decirlo de esta manera. Tome $R_1 < r_2 < r_1 < R_2$, y para $r_2 < |z - a| < r_1$ definir

$$ f_1(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|\zeta - a|=r_1} \frac{f(\zeta) \, d\zeta}{\zeta - z}$$

$$ f_2(z) = - \frac{1}{2 \pi i} \int_{|\zeta - a| = r_2} \frac{f(\zeta) \, d\zeta}{\zeta - z}$$

A ver que $f(z) = f_1(z) + f_2(z)$, dibuje dos radial segmento de línea que une los dos círculos (no va por $z$), digamos que de $p_1$ $p_2$ $q_1$ % # % donde $q_2$, y considere los dos siguientes contornos: $|p_k-a| = |q_k - a| = r_k$ $\Gamma_1$ $q_1$hacia la izquierda en el círculo exterior, luego a $p_1$, a la derecha en el interior de un círculo,$p_2$,$q_2$, e $q_1$$\Gamma_2$$q_1$, luego a la derecha en el interior de un círculo,$q_2$,$p_2$, luego hacia la izquierda en el círculo exterior de $p_1$. En esta foto se $q_1$ está dentro de $z$ pero no $\Gamma_1$.

Por la fórmula de Cauchy, $\Gamma_2$, mientras que por Cauchy teorema de, $\int_{\Gamma_1} \frac{f(\zeta)\, d\zeta}{\zeta - z} = f(z)$. Ahora tenga en cuenta que la suma de estas es $\int_{\Gamma_2} \frac{f(\zeta)\, d\zeta}{\zeta - z} = 0$.

Answer 3

Esto es lo que pienso acerca de Laurent de la serie, que podría ser útil.

Si $f$ es complejo-diferenciable en a $R_1<|z-a|<R_2$, entonces cualquier (orientación positiva) círculo de $C_r$ radio $r$ dentro del anillo (es decir, que los $R_1 < r < R_2$) define una función $f_r(z)=\frac1{2\pi i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$ analítica en todas partes en el disco $|z-a|<R_2$, excepto el círculo de $C_r$ donde la integral es indefinido. Debido a que estos círculos no puede ser deformada en un único punto es que no necesariamente cierto que $f_r(z)$ es igual a $f(z)$ puntos $z$ dentro del círculo de $C_r$.

Ahora, si pensamos en un círculo mayor $C_{r'}$ radio $r'$, es decir, que los $r<r'<R_2$, $f_{r'}(z)=f_r(z)$ siempre $z$ está dentro del círculo más pequeño $C_r$ ya que se puede deformar $C_{r'}$ a $C_r$ sin pasar a través de un $z$, es decir, los dos círculos son homotópica en el anillo menos $z$, lo que significa que las integrales de $\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$ $\oint_{C_{r'}}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$ son iguales desde $\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$ es complejo-función derivable (de $\zeta$!) en todas partes en el anillo, excepto el punto específico de la $z$.

Por lo tanto, el poder de la serie de $f_r(z)$ $a$ cualquier $0<r<R_2$ converge en todo el disco $|z-a|<R_2$ y define una analítica de la función $f_1$ en ese disco $|z-a|<R_2$. La Serie de Taylor $f(z)=\sum_{i=0}^\infty a_i(z-a)^i$, de hecho, da el no poder negativo, la parte de la de la serie de Laurent de $f(z)$ en ese anillo, y los $f_2$, una vez que hemos definido, le dará el poder negativo de la parte.

Entonces, ¿qué podemos decir acerca de $f(z)-f_1(z)$, que es sin duda complejo-diferenciable en ese anillo? Así, podemos decir que el $\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)-f_1(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}-\frac{f_1(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=f_1(z)-f_1(z)=0$ por cada $z$ dentro $C_r$, lo que significa que no podemos usar el mismo truco que antes.

Pero espera! Hemos olvidado la mitad de las informaciones que nos da el $f_r(z)$ desde $f_1(z)=f_r(z)$ sólo al $|z-a|<r$ -- ¿qué sucede cuando $|z-a|>r$ (recordemos que $f_r(z)$ es analítica en todas partes excepto en el círculo de $C_r$$|z-a|=r$)? Bien, antes de que las deformaciones nos dicen que $f_r(z)=f_{r'}(z)$ $|z-a|>r'>r$ $f_r(z)$ también definir una analítica de la función $f_2$ sobre el disco complementar $|z-a|>R_1$ (mientras $f_1$ fue definido en $|z-a|

Tenga en cuenta que, en particular, para $|z-a|>r$ tenemos $|f_2(z)|<\frac1{2\pi i} \oint_{C_r}\frac{|f(\zeta)|}{|\zeta-z|}=\frac 1{2\pi i}\frac MR$ donde $M$ es el de mayor valor de la $f$ toma en $C_r$ $R$ es la menor distancia entre el $z$ y un punto de $C_r$. Por lo tanto $\lim_{z\to\infty}f_2(z)=0$, por lo que, en cierto sentido, $f_2$ es de hecho la analítica en el infinito. El sentido en el que $f_2$ es analítica en el infinito es este. Las fracciones de transformación lineal $\phi(z)=\frac1{z-a}+a$ es complejo-diferenciable en todo el plano complejo excepto en $a$, y lo que hace a un punto de $a+re^{i\theta}$ es que se lo envía a $a+\frac1r e^{i-\theta}$, con lo que se envía a la función $f_2$ analítica fuera de $C_{R_1}$ a una función $g$ analítica en el interior de $C_{\frac1{R_1}}$ donde $g$ está dado por $g(z)=f_2(\phi(z))$ para $z\neq a$. Entonces, si el poder de expansión de la serie de $f_2(\phi(z))=f(\frac1{z-a}+a)$$z=a$$\sum_{j=1}^\infty b_j(z-a)^j$, tenemos que en el hecho de $f_2(z)=\sum_{j=1}^\infty b_j(z-a)^{-j}$.

Por lo tanto, ahora podemos ver que $f_1$ $f_2$ simplemente son las únicas funciones analíticas, respectivamente, en el interior del disco $|z-a|<R_2$ y el exterior (incluyendo $\infty$) el disco de $|z-a|>R_1$ determinado por los valores de $f$ en el anillo, con el poder de las expansiones $f_1(z)=\sum_{i=0}^\infty a_i(z-a)^i$$f_2(z)=\sum_{j=1}^\infty b_j(z-a)^{-j}$, respectivamente, de la no-positivos y negativos de poder de parte de las Laurent expansión de $f$ en ese anillo.