Lógica intuicionista y la lógica clásica en la prueba de (A o B)

Question

En intuitionist lógica, una prueba de (a o B) significa una prueba de un o una prueba de B, mientras que en la lógica Clásica, una prueba de (a o B) se puede hacer sin cualquiera de probar Una o probar B.

Estoy tratando de conseguir un ejemplo ( de preferencia simple, porque yo soy muy principiante en matemáticas ), donde podemos demostrar (a o B), sin bien probar a o B.

Alguien me dijo que considerando la Hipótesis de Riemann como RH, podemos probar RH o ~RH sin ya sea demostrando RH o ~RH . Pero la Hipótesis de riemann es demasiado avanzado para mí.

¿Alguien puede proporcionarme un ejemplo más simple de un comprobante de a o B que no probar Una, y también no probar que B ?

Es este tipo de prueba siempre será una prueba por contradicción ( demostrando que ~a y ~B se deriva una contradicción ) ? Es por eso intuitionistic lógica rechaza la prueba por contradicción ?

Muchas gracias

Answer 1

Uno de estos problemas es: ¿puede un número irracional planteado irracional de poder producir un número racional? Consideremos ahora tres números:

\begin{align} a &= \sqrt{2} \\ b &= a^\sqrt{2} = \sqrt{2}^\sqrt{2}\\ c &= b^\sqrt{2} = (\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} = \sqrt{2}^2 = 2\\ \end{align}

Ahora bien $b$ es irracional o no. Si es, entonces, $b$ elevado a un irracional el rendimiento de la energía $2$, un número racional. Por otro lado, si $b$ es racional, entonces $a$ obras. Para adaptar esta a tu pregunta, vamos a $P(x)$ ser \begin{align} P(x) =\ &x\text{ is an irrational number that raised to }\\ &\text{an irrational power yields a rational number}, \end{align} a continuación, puedes probar una declaración $$P(a) \lor P(b)$$ lo que significa que cualquiera de las $a$ o $b$ es un número que está buscando, pero no sabe qué.

Editar:

Hay otro ejemplo un poco más cerca de la lógica. Considerar tres personas: Alice, Bob y Charlie de pie como esta: Alice ve a la parte de atrás de Bob, mientras Bob se ve la parte de atrás de Charlie (Alice no se vea la parte de atrás de Charlie).

$$A \to B \to C.$$

Alice se casó y Charlie es soltero (y supongamos por simplicidad que cualquier persona está casada o no). ¿Una persona casada que ver la parte de atrás de una persona soltera?

Hay dos casos: sea Bob está casado o no. Si es él, entonces él ve la parte de atrás de Charlie, y si no, entonces Alice ve a su espalda. En tanto, la respuesta final es que sí, así que la respuesta a la pregunta es afirmativa, pero no sabemos quién es esa persona. De nuevo, nos demuestran $Q(A) \lor Q(B)$ adecuado $Q$.

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

Answer 2

Seguro, he aquí una sencilla prueba de la existencia de un par de números irracionales $x,y$ tal que (al menos uno, ya que es un multibranched función) de los valores de $x^y$ es racional

Considere la posibilidad de declaración: Con $x=\sqrt 2,y=\sqrt 2:,x,y\notin \mathbb Q \land x^y \in \mathbb Q$. Y la declaración de B: Con $x={\sqrt 2}^{\sqrt 2},y=\sqrt 2,x,y\notin \mathbb Q \land x^y\in \mathbb Q$.

Ahora, para demostrar $A \lor B$ si $A$ es cierto, entonces hemos terminado. Si $A$ es falsa, entonces la $\sqrt 2^{\sqrt 2}$ es irracional, por lo tanto, la primera parte de la declaración de B es true ($x,y \notin \mathbb Q$) y de (al menos uno) el valor de $x^y=({\sqrt 2}^{\sqrt 2})^{\sqrt 2}=\sqrt 2 ^2=2\in \mathbb Q$, y la declaración B es verdadero. Por lo tanto, $A$ o $B$ debe ser cierto (Por la ley del medio excluido).

Tenga en cuenta que esto no nos dice que de $A$ o $B$ es verdadera, por lo tanto no proporciona una prueba de forma individual

Answer 3

La siguiente es una tautología clásica

$$ (A \leftrightarrow B) \lor (B \leftrightarrow C) \lor (A \leftrightarrow C) $$

Esto es porque tienen valores en $A,B,C$ $\{{\sf true,false}\}$ y por el principio de pidgeonhole dos de ellos deben compartir un valor.

En lógica intuicionista, la fórmula anterior no es una tautología. Si lo fuera, uno de los tres subformulas debe ser una tautología por cuenta propia, y claramente ninguno de ellos es tal (que no son incluso clásico).