conectado vía límite implica cierre de trayectoria-conectado

Question

Que $X$ ser un espacio conectado por el camino y $Y\subset X$ un subespacio. Si el % de límite $\partial Y$es trayectoria-conectado entonces $\overline{Y}$ es también camino conectado.

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He intentado construir un camino que une dos puntos cualesquiera en $\overline{Y}$ utilizando la conexión de ruta de acceso de $\partial Y$ pero no veo una manera de hacerlo. También intenta mostrar la contrapositive no parece muy útil. (A diferencia de declaraciones sobre conectividad.) ¿Podría alguien subir con una sugerencia?

Answer 1

Tomar $x,y \in \overline{Y}$: necesita construir un camino en $\overline{Y}$conexión $x$ $y$. $X$ Es camino conectado, existe una ruta de acceso $f:[0,1] \longrightarrow X$ $f(0)=x$ y $f(1)=y$. Si $f([0,1]) \subseteq \overline{Y}$, se realiza. De lo contrario, llamada $$a= \inf \{ t \in [0,1] : f(t) \notin Y\}$ $ $$b= \sup \{ t \in [0,1] : f(t) \notin Y\}$ $ muestran que $f(a), f(b) \in \partial Y$ (consulta). Conectar $f(a)$ $f(b)$ por una ruta de acceso $g: [0,1] \longrightarrow \partial Y$ y finalmente pegar % tres caminos $f|_{[0,a]}, g , f|_{[b,1]}$para obtener una ruta de acceso $\overline{Y}$ conexión $x$ $y$.