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Finito Anillo conmutativo con unidad y sin elementos nilpotentes

Que $R$ ser un anillo comutativo con la unidad tal que para cada $x \in R$ allí existe un $n \in \mathbb{N}$, $n>1$, que $x^n = x$. Entonces mostrar que $$ R\simeq F_ {1} \times F_ {2} \times \cdots\times F_ {n} $$ donde $F_k$ son campos.

Que estoy enfrentando dificultades para demostrar lo anterior sin utilizar Teorema de Artin-Wedderburn (o la prueba). ¿Existe una prueba elemental?

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rschwieb Puntos 60669

La misma lógica de esta solución a un caso especial se aplica aquí, excepto que usted caso omiso de los comentarios acerca de la $F_2$ $F_3$ y se acaba de asentar para todos los coeficientes por el primer ideales campos.

El plan de batalla es, brevemente:

  1. La intersección de todos los primer ideales es el ideal cero
  2. El cociente por cualquier prime ideal es en realidad un campo.
  3. El anillo se incrusta en un producto de anillos cociente de la forma $R/P$ donde $P$ es un alojamiento ideal. (Y, por supuesto, que es un producto de los campos.)

Así que un anillo es un sub-anillo de un producto de los campos, y no es necesariamente la totalidad del producto, o de un número finito de producto.

Si el anillo es finito, o mejor aún, sólo tiene un número finito de máximos ideales, entonces la inyección de arriba es un producto de sólo un número finito de campos. Una colección de máximas ideales es siempre comaximal, por lo que el Teorema del Resto Chino dice que el mapa es surjective, y así es en realidad un isomorfismo.

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Joel92 Puntos 156

Si el anillo es finito, entonces es un artinian reducido anillo y por lo tanto se divide como el producto de anillos locales artinian. Cada término del producto debe ser reducido y un anillo reducido local artinian es un campo, demostrando su reclamo.

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