Una pregunta sobre existencia de derivado de la función a cero

Question

Asumir que $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ es continua y diferenciable en todas partes pero en $0$.

¿Si $\displaystyle\lim_{x\to0} f'(x) = L$ existe, entonces sigue que $f'(0)$ existe?

Probar o refutar.

Yo creo que tiene que ser verdad. Sé por definición $\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$, pero podría no ha podido seguir los pasos de aquí. por favor me podrias ayudar hacia fuera.

Answer 1

Por el teorema del valor medio hay $c_h\in(0,h)$ tal que

$$\frac{f(h)-f(0)}h=f'(c_h)$ $ pasar tan al límite $h\to0^+$ y te $f_r'(0)=L$. Del mismo modo tiene $f'_l(0)=L$. La conclusión.

Answer 2

Se trata de una aplicación de la regla de L'Hospital:

$$f^{'}(0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)-f(0)}{t-0} = \lim_{t \to 0} f^{'}(t)=L$$

donde la segunda igualdad se da por la regla.

Answer 3

Hay una ambigüedad en su pregunta. Supongo que te refieres a $f(x)$ es countinous en todas partes, pero en $x=0$ y diferenciable en todas partes, pero en $x=0$. En este caso lo que has dicho y a la inversa de lo que usted dice puede ser violado.

Te doy algunos ejemplos. Considere la siguiente función

$$f(x) = \left\{ \matriz{ {x^2}\sin ({1 \over x})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.$$

Es derivado es

$$f'(x) = \left\{ \matriz{ 2x\sin ({1 \over x})\, - \cos ({1 \over x})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.$$

Usted puede simplemente ver que $f'(0)$ existen desde

$$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f(x) - f(0)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f(x)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}\sin ({1 \over x})} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\sin ({1 \over x}) = 0$$

pero $\mathop {\lim f'(x)}\limits_{x \to 0} $ no existe. Por lo tanto, la existencia de $f'(0)$ no implica la existencia de $\mathop {\lim f'(x)}\limits_{x \to 0} $.

La viceversa también puede suceder, es decir, $\mathop {\lim f'(x)}\limits_{x \to 0} $ existe sino $f'(0)$ no existe. Para este caso se puede considerar la siguiente función

$$f(x) = \left\{ \matriz{ \sin (x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ne 0 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.$$

que es una función discontinua en $x=0$ y, por tanto, $f'(0)$ no existe, sino que simplemente se puede comprobar que $\mathop {\lim f'(x)}\limits_{x \to 0} $ existe.

Answer 4

Si usted toma:

$\begin{align} f(x) = \begin{cases} x^2 & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{casos} \end{align}$

entonces el $f'(x) = 2 x$ si no $x = 0$ y $\lim_{x \to 0} f'(x) = 0$. Pero la definición de la derivada en $x = 0$ produce:

$\begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h^2 - 1}{h} \end {Alinee el} $

Esto simplemente no existe. El derivado tiene un "agujero" (más precisamente, una singularidad desprendible) en $x = 0$.