Muestran que la clausura proyectiva de V(x) y V($x-y^4-z^4$) en $P^3$ no es isomorfa

Question

Este es el ejercicio 3.4.4 de "Una Invitación a la Geometría Algebraica": Mostrar que el afín variedades V(x) y V($x-y^4-z^4$) es isomorfo en $A^3$ pero su proyectiva cierres no son en $P^3$.
Lo que yo hice:
Son isomorfos en $A^3$ ya que ambos son isomorfos a $A^2$, y un isomorfismo entre ellos es $[0;y;z] \mapsto [y^4+z^4;y;z]$. Entonces traté de mostrar que las variedades proyectivas V(x) y V($w^3x-y^4-z^4$) no es isomorfo en $P^3$. El primero es ahora un $P^2$, el segundo es también topológicamente un $P^2$, por lo que estoy tratando de encontrar en algún lugar de la segunda no es suave, pero fracasó. Podría alguien decirme un punto donde la segunda no es lisa?

Answer 1

Una hipersuperficie proyectivo $V(f) \subset \mathbb P^n$ definido por un homogéneo polinomio $$f(x_0,...,x_n)$$ there is a simple criterion to characterize a singular point of $V (f) $: The point $x = (x_0: \... \: x_n) \in \mathbb P ^ n $ is a singular point $x \in v$ iff desaparece de todos los derivados parciales, es decir,

$$\frac {\partial f}{\partial x_i}(x) = 0, i = 0,...,n.$$

Nota. Lema de Euler (véase Hartshorne Ex. , 5.8) implica que el $x \in V(f)$.