Anillos de matrices

Question

Dejemos que $ A\in {\mathbb{F} }^{n\times n} $ sea una matriz fija. El conjunto de todas las matrices que conmutan con A forma un subring de ${\mathbb{F} }^{n\times n}$ .

Es cualquier subring de ${\mathbb{F} }^{n\times n }$ (que contiene la identidad) de la forma anterior?

Gracias.

Answer 1

No si $n\gt 1$ . Consideremos el subring de todos los múltiplos escalares de la matriz identidad (esto es isomorfo a $\mathbb{F}$ mismo).

Dado que la colección de todas las matrices que conmutan con $A$ siempre incluye $A$ si el subring de todos los múltiplos escalares de la identidad fuera de la forma $C(A)$ para algunos $A$ entonces $A$ sería necesariamente un múltiplo escalar de la identidad; pero los múltiplos escalares de la identidad son centrales en $\mathbb{F}^{n\times n}$ por lo que el centralizador de tal $A$ contendría algo más que los múltiplos escalares de la identidad.

Se puede preguntar de forma más general si todo subring de $\mathbb{F}^{n\times n}$ de la forma $C(S)$ para algunos $S\subseteq \mathbb{F}^{n\times n}$ , donde $C(S) = \{M\in\mathbb{F}^{n\times n}\mid MA=AM\text{ for all }A\in S\}$ . Pero incluso aquí la respuesta sigue siendo negativa; aunque mi ejemplo ya no funciona en este escenario (tomando $S=\mathbb{F}^{n\times n}$ da los múltiplos escalares de la identidad), el ejemplo de Mariano sigue haciéndolo. Nótese que $S\subseteq C(C(S))$ ; si $T$ es el conjunto de matrices triangulares superiores, entonces considerando la matriz $E_{ij}$ que tiene un $1$ en el $(i,j)$ entrada, $i\leq j$ y ceros en otros lugares, tienes que $E_{ij}A$ es la matriz que tiene ceros en todas partes excepto en la $i$ fila, donde tiene el $j$ La fila de $A$ ; mientras $AE_{ij}$ es la matriz que tiene ceros en todas partes excepto en la $j$ columna, donde tiene el $i$ columna de $A$ . Por lo tanto, si $A\in C(T)$ entonces $A$ debe ser un múltiplo escalar de la identidad; esto significa que si $T=C(S)$ para algunos $S$ entonces $S$ debe estar contenido en los múltiplos escalares de la identidad, y de nuevo obtenemos una contradicción.

Answer 2

Dejemos que $T$ sea un subring de $M_2(\mathbb F)$ de matrices triangulares superiores. ¿Existe un $A\in M_2(\mathbb F)$ tal que $T$ es el conjunto de matrices que conmutan con $A$ ?