Para i.i.d. $U(0,1)$variables aleatorias $(X_i)$, $\max\limits_{1\le i \le n/2}\{(1-2i/n)X_i\}\to1$ en la probabilidad

Question

Quiero mostrar $\max_{1\le i \le \frac{n}{2}}\{(1-\frac{2i}{n})X_i\}$ converge en probabilidad a $1$ $n \to \infty$, donde $X_i$ es una secuencia de i.i.d $[0,1]$-uniformemente distribuido variables al azar.

No aprender cualquier presupuesto ocuparse máximo excepto desigualdad de Kolmogorov, pero parece que no funciona aquí. ¿Puede alguien dar alguna idea? ¡Muchas gracias!

Answer 1

El % máximo $M_n$de interés es tal que $$(1-2/\sqrt{n})K_n\leqslant M_n\leqslant1,\quad\text{where}\quad K_n=\max\{X_i\mid 1\leqslant i\leqslant\sqrt{n}\}.$$ By independence, $P(K_n\leqslant x) = P (X_1\leqslant x)^{\sqrt{n}}=x^{\sqrt{n}}\to0$ when $n\to\infty$, for every $x$ in $ (0,1) $. Hence $K_n\to1$ in probability, $ (1-2/\sqrt {n}) K_n\to1$ in probability, and finally, $M_n\to1$ en la probabilidad.

Nota más fuerte resultado que $M_n\to1$ (y $K_n\to1$) casi con toda seguridad.

Answer 2

Tengo algunos resultados parciales; tal vez alguien puede continuar o corregir mi trabajo.

\begin{align*} &\phantom{{}={}}P\left(1-\max_{1 \le i \le n/2} \left\{\left(1-\frac{2i}{n}\right)X_i\right\}>\epsilon\right)\\ &=P\left(1-\epsilon>\max_{1 \le i \le n/2} \left\{\left(1-\frac{2i}{n}\right)X_i\right\}\right)\\ &=\prod_{i=1}^{n/2} P\left(1-\epsilon > \left(1-\frac{2i}{n}\right)X_i\right) & \text{independence}\\ &=\prod_{i=1}^{\lfloor{\epsilon n/2\rfloor}} P\left(1-\epsilon > \left(1-\frac{2i}{n}\right)X_i\right) & \text{for %#%#%, the probability is %#%#% since %#%#%}\\ &= \prod_{i=1}^{\lfloor{\epsilon n/2\rfloor}} \frac{1-\epsilon}{1-\frac{2i}{n}} & \text{uniform distribution}\\ &= (1-\epsilon)^{\lfloor{\epsilon n/2\rfloor}} \prod_{i=1}^{\lfloor{\epsilon n/2\rfloor}}\frac{n}{n-2i}\\ \end{align*}