Es famoso que no se sepa si el logaritmo natural de 2 es racional o no.
¿Qué tal el logaritmo natural de otros números? ¿Se sabe/no se sabe si son racionales?
Obviamente ln(1) es 0, y ln(2^n) es n*ln(2) (y por tanto es racional si ln(2) es racional), pero ¿qué pasa con otros casos?
Disparar a un pájaro con un cañón...
Por el Teorema de Lindemann-Weierstrass , $e^a$ es trascendental para todos $a$ algebraica y no nula. En particular, si $a$ es racional, $e^a$ no puede ser racional. Por lo tanto, $\ln(n)$ es siempre irracional.
También podemos utilizar una expansión de fracción continua no simple de $\displaystyle e^{2x/y}$ para demostrar la irracionalidad de $\displaystyle e^{2x/y}$ cuando $\displaystyle x,y$ son enteros positivos. Por lo tanto, si $\displaystyle \log n = x/y$ entonces $\displaystyle e^{2x/y} = n^2 $ es racional, contradiciendo la irracionalidad de $\displaystyle e^{2x/y}$ .
Por cierto, la primera prueba de irracionalidad de $\pi$ de Lambert utilizó una expansión de fracción continua (de $\tan x$ creo).
La expansión que utilizamos:
y el teorema que utilizamos para demostrar la irracionalidad se cita en la página wiki de Fracciones Continuas Generalizadas aquí: Condiciones de irracionalidad .
Por este teorema, basta que para todos los enteros positivos suficientemente grandes $\displaystyle m$ tenemos que $\displaystyle (2m+1)y \gt x^2$ , lo que es cierto para el $\displaystyle x,y$ .
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