¿Cualquier ejemplo de contador $P(A|C)=P(A),P(B|C)=P(B)$ $P(A\cap B|C)\neq P(A\cap B)$?

Question

Sea $A,B,C$ tres eventos, ¿cuál sería un ejemplo que $P(A|C)=P(A)$ y $P(B|C)=P(B)$ no implican $P(A\cap B|C)= P(A\cap B)$?

Answer 1

Considere un dado de 8 caras con números de $1$ $8$ en ellos respectivamente. Nos dados. Indicar $X$ como la cara resultante.

Que $A=[X=1,X=2]$, $B = [X=2,X = 3]$, $C=[X~\text{is even}]$. Entonces definitivamente tenemos $$P(A|C)=P(X=2\vert C)=\frac14=P(A)$$ and $% $ $P(B|C)=P(X=2\vert C)=\frac14=P(B).$

Pero %#% $ #%

Answer 2

Que $\Omega = \{1,2,3,4\}$ sea el espacio muestral, eventos $A = \{1,2\}$, $B = \{1,3\}$, $C = \{1,4\}$.

\begin{align} P(A|C) &= P(\text{choose 1 or 2 | 1 or 4 chosen}) = \frac12 \\ P(A) &= P(\text{choose 1 or 2}) = \frac12 = P(A|C) \\ P(B|C) &= P(B) = \frac12 \quad \text{similarly} \\ P(A\cap B | C) &= P(\text{choose 1 | 1 or 4 chosen}) = \frac12, \text{ but} \\ P(A\cap B) &= P(\text{choose 1}) = \frac14 \ne P(A\cap B | C). \end {Alinee el}