¿Cómo interpretas la siguiente declaración que implica "a.e."?

Question

Aquí es un fragmento editado de un ejercicio:

Deje $(X, \mathcal A, \mu)$ ser una medida de espacio, $(f_n)$ ser una secuencia de tales y tales funciones. Si $f(x)= \lim f_n(x)$ existe para casi todos los $x\in X$ $f$ tiene tales y tales propiedades (en particular, $f$ es medible).

Estoy confundido sobre el papel de la $f$. Es que ya se da en la declaración? E. g. si en la prueba, uno podría establecer $f$ a cero en algunos conveniente conjunto de medida cero, no se ACEPTAR? (Una prueba que me encontré hace exactamente eso.)

La pregunta probablemente tiene poco que ver con la teoría de la medida, pero que en general si algo se muestra en la asunción, que debe ser corregido a partir de ahí?", pero he añadido el contexto.

Answer 1

Si la medida que el espacio no está completa, entonces la siguiente declaración es, en general, no es correcto.

Deje $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de funciones medibles. Si $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ existe para casi todos los $x \in X$, $f$ es medible.

Sólo tiene que elegir una que no se pueden medir set $N$ tal de que no existe $M \supseteq N$ medibles con $\mu(M)=0$ (un conjunto $N$ existe si la medida que el espacio no está completa). A continuación, $f_n(x) := 0$ converge para casi todos los $x \in X$$f(x) := 1_N(x)$, pero $f$ no es mensurable.

Sin embargo, la siguiente proposición es verdadera:

Deje $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de funciones medibles. Si $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ existe para casi todos los $x \in X$, $f$ tiene un medible de la modificación, es decir, existe una función medible $\tilde{f}$ de manera tal que el conjunto $\{x; \tilde{f}(x) \neq f(x)\}$ está contenida en un $\mu$-null conjunto.

Tenga en cuenta que la función de $\tilde{f}$ satisface en particular $$\tilde{f}(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$$ for $\mu$-almost all $x \in X$.

Answer 2

Cambio $f$ en un conjunto de medida cero no afecta casi convergencia a él. El convergente secuencia $f_n$ puede o no puede converger para aquellos recién asignado valores pero realmente no le importa, mientras mantiene la convergencia en el complemento de un conjunto de medida cero.