Cerrado integralmente con raíces de identidad

Question

Dejemos que $\lambda_1,...,\lambda_n$ sean raíces de la unidad con $n\geq 2$ . Supongamos que $$\frac{1}{n}\sum_{1}^{n}\lambda_i$$

es integral sobre $\mathbb{Z}$ . Mostrar cualquiera de los dos $\sum_{1}^{n}\lambda_i=0$ o $\lambda_1=\cdots=\lambda_n$ .

Sólo conozco la definición básica de los elementos integrales, así que ¿existe una prueba básica del problema?

Answer 1

Dejemos que $\theta = \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i$ y $\Lambda = \frac{1}{n}\theta$ .

Utilizando el resultado de que $x$ es integral si y sólo si $\mathbb Z [x]$ es una entidad finitamente generada $\mathbb Z$ -concluimos que $\theta$ es integral, siendo una suma de elementos integrales. (Esto requiere la suposición de que $\lambda_i \neq \lambda_j$ para algunos $i \neq j$ ). Aquí y en todo el texto, integral significa integral sobre $\mathbb Z$ .

Dejemos que $f(X)\in\mathbb Z[X]$ sea el polinomio irreducible mónico satisfecho por $\theta$ . Entonces, $f(n\Lambda) = 0$ . Así que $\Lambda$ satisface el polinomio $f(nX)$ . Desde $f(X)$ es irreducible, por lo que debe ser $f(nX)$ . Así, $f(nX)$ es el polinomio mínimo satisfecho por $\Lambda$ y no es mónico si $n>1$ . Esto contradice la suposición de que $\Lambda$ es integral, a menos que el grado de $f$ es 1, en cuyo caso $\theta=0$ según sea necesario.

Answer 2

Si alguno de los $\lambda_i$ son distintos su número se encuentra estrictamente dentro del círculo de la unidad. Creo que sé lo que son sus conjugados, están entre sumas similares permutando sus raíces. Estoy un poco inseguro de lo que el $\lambda_i$ son según los comentarios. Entonces se tiene un supuesto número entero cuyos conjugados son $< 1$ en valor absoluto, y sólo puede ser $0$ .