Me enfrento con el siguiente problema:
Determinar si la siguiente función es continua, una vez diferenciable, o dos veces diferenciable:
$f(x) = \begin{cases} x^3+x-1 &\text{if $x \leq 0$;} \\ x^3-x-1 &\text{si $x >0$}. \end{casos}$
Hasta el momento, me han demostrado que $f$ no es una vez diferenciable en a $x = 0$, y desde $C^{2}(\mathbb{R}) \subset C^{1}(\mathbb{R})$, además, no es dos veces diferenciable.
Lo que yo estoy teniendo un poco de dificultad con el que demuestra que es continua en a $x = 0$. Aquí es lo que he hecho hasta ahora: ya que cada pieza de la función definida a trozos es continua en su dominio de definición, todo lo que necesita hacer es comprobar el punto de $x = 0$.
- Para $x > 0$, quiero ver si la mano derecha de límite existe. En este caso, $|f(x) - f(0)| = |x^{3}-x-1 - (0^{3} + 0 - 1)| = |x^{3} - x| = |x(x^{2}-1)| = |x||x^{2}-1|$.
Ahora, si $|x|<1$,$|x^{2} - 1| = |x+1||x-1| \leq (|x|+1)(|x|+1) = 2(|x|+1)< 2(1+1) = 4$.
Por lo tanto, tengo que $|x||x^{2}-1|<4|x| < \epsilon$ si tomamos $|x|<\frac{\epsilon}{4}$. Por lo tanto, aprovecho $\displaystyle \delta = \min\left\{ 1, \frac{\epsilon}{4}\right\}$, y he a $\forall \epsilon > 0$ que $|f(x) - f(0)|<\epsilon$; es decir, la mano derecha de límite existe y es igual a $-1$.
- Para $x < 0$, quiero ver si el lado izquierdo del límite existe. En este caso, $|f(x) - f(0)| = |x^{3}+x-1 - (0^{3}+0-1)| = |x^{3}+x-1+1| = |x^{3} + x| \leq |x^{3}| + |x|$.
Si $|x|<1$,$|x^{3}|<|x|$.
Por lo tanto, tengo que $|x^{3}|+|x| < |x| + |x| = 2|x| < \epsilon$ siempre tomamos $\displaystyle |x| < \frac{\epsilon}{2}$. Por lo tanto, aprovecho $\delta = \min \left\{1, \frac{\epsilon}{2} \right\}$, y he a $\forall \epsilon > 0$ que $|f(x) - f(0)|<\epsilon$; es decir, el lado izquierdo del límite existe y es igual a $-1$.
Por lo tanto, $\lim_{x\to 0}f(x) = -1$, y desde $f(0) = -1$, $f$ es continua en a $x = 0$. Por lo tanto, es continua en a $\forall \mathbb{R}$.
Supongo que lo que me gustaría saber es si me mostró esto correctamente y, si no, cómo podría solucionarlo.
Gracias.
