Yo soy un no-matemática estudiante que acaba de comenzar el aprendizaje diferencial de geometrías. Muy duro para mí, sino para mis necesidades de investigación. Tengo problemas para entender la definición de orientability. ¿Por qué se relaciona con el determinante de la matriz Jacobiana de la transformación de los dos gráficos? Simplemente no puedo entender lo que el determinante representa aquí. La definición es la siguiente: decimos que un atlas $(U_i,ϕ_i)$ está orientado si el jacobiano de la transformación entre dos tablas en la intersección es positivo. (es decir,$\det\operatorname{Jac}ϕ_j∘ϕ^{−1}_i>0$). Gracias!
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Es la definición de una orientación de un espacio vectorial claro para usted? Sólo se basa en la siguiente observación: cualquiera de los dos ordenado base de un espacio vectorial V están relacionados por una transformación lineal - donde tengo que enviar el primer vector de la primera base para el primer vector de la segunda base, y así sucesivamente... Si nos limitamos a sólo transformaciones lineales con determinante positivo, a continuación, algunas particular ordenó la base no puede ser transformado en simpatia - la idea clave es que el determinante es multiplicativo: det(AB) = det(A)det(B).
Nosotros en realidad ahora se tienen dos clases de diferentes tipos de base - en el "estándar de coordenadas" puedo distinguir estas clases por escribir las coordenadas de cada base de vectores como columnas de una matriz utilizando el orden (el primer vector en el que la base se convierte en la primera columna, etc.). Esta matriz tiene determinante positivo para los de la primera clase, y negativo determinante para los de la segunda. Debido a la multiplicativity de la determinante, yo no puedo ir de una clase a otra, mediante la multiplicación por una matriz con determinante positivo. La elección de una de las dos clases que define una orientación en V. Vamos a llamar a una base en la que se haya elegido la clase de orientación positiva.
(*Ser ordenado base es importante aquí, desde una orientación sobre el plano debe significar instrucciones especificando lo que significa girar a la izquierda. La base ((1,0),(0,1)) que codifica para esta, me inicio en el primer vector y la segunda es para mi "izquierda". (En las dimensiones superiores es más sutil. La regla de la mano derecha es el método para tres dimensiones.))
Ahora para una variedad M, es necesario asociar un espacio de la tangente en cada punto. A continuación, una orientación sobre M es una constante elección de la orientación en estos tangente espacios. Lo que hace coherente significa? Pues bien, una manera de pensar acerca de esto es que si yo tomo un gráfico, entonces mi primera elección de las orientaciones que da lugar a una elección de la orientación en todos los tangente espacios de R^n. Pensamos generalmente en estos como "ser el mismo", que es simplemente la observación de que podemos identificar vectores en diferentes tangente espacios mediante la traducción de ellos. Ahora la consistencia de la idea aquí significa que si un tomar una orientación positiva de la base de que el espacio de la tangente en un punto, a continuación, arrástrelo a otra cercana a uno en mi carta, la de la base resultante está en la clase de orientación positiva de base para el espacio de la tangente en ese punto.
Ahora podemos tener a veces pasar de una tabla a otra con el fin de comprobar esta coherencia en todo el colector. Cuando lo hacemos, el Jacobiano nos dice cómo los números que representan nuestros cambios de base. El Jacobiano de ser positivo significa que si una base para el espacio de la tangente en un punto está orientado positivamente en algunos de gráfico, entonces es en el otro gráfico. Por lo tanto, podemos seguir a vagar alrededor de nuestro colector, y comprobar que todas las opciones de orientaciones sobre la tangente espacios es consistente.
Espero que ayude. Es complicado noción. Por supuesto, es una buena idea pensar acerca de cómo la esfera está orientado, y cómo la Mobious banda no es.
