Límite de Lorenz es la Delta de Dirac

Question

Tengo una pregunta rápida que acaba de llegar en mi investigación y no pude encontrar una respuesta en cualquier lugar, así que pensé que iba a tratar aquí.

Así que una de las definiciones de la Delta de Dirac es el límite de la función de Lorenz con $\epsilon$ va a cero. Ver aquí http://hitoshi.berkeley.edu/221a/delta.pdf para la expresión en la primera página.

Mi pregunta es, puedo definir la Delta de Dirac igual de bien con este

$$\delta(t) ~=~ \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2},$$

donde he incluido un extra de $\epsilon$ en el numerador. Mi corazonada es que esto no es ningún problema ya que el comportamiento limitante se ve lo mismo para mí.

Answer 1

Se ve como un delta-función. Sin embargo, debido a $\epsilon / (\epsilon^2+t^2)$ - usted debe omitir una $\epsilon$ en el numerador, para obtener el derecho integral igual a uno, por cierto - disminuye muy lentamente como $|t|\to\infty$$1/t^2$, que sólo funciona como la delta de Dirac de la distribución de las funciones de prueba de que la disminución en el infinito, o al menos aumentar más lento que como $O(t)$. Si la función de prueba se $t^2$, por ejemplo, la integral $$ \int_{-\infty}^\infty dt\,t^2\,\delta(t) $$ debe rendir 0 porque $t^2=0$$t=0$. Sin embargo, con su definición de la función delta, usted recibirá un divergentes respuesta, porque la infinita gama integral en última instancia, le gana a cualquier $\epsilon$. Por esta razón, por lo general se quiere aproximaciones de funciones delta de que la disminución más rápida en $|t|\to\infty$ que el de Lorenz.

Obviamente, si se incluye un extra $\epsilon$, consigue $\epsilon\cdot \delta(t) = 0$, independientemente de los detalles acerca de la $|t|\to\infty$ comportamiento.

Answer 2

La respuesta es no, la generalización de la función (=distribución)

$$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2}=0 \qquad\mathrm{a.e.} $$ es casi en todas partes .e.) igual a la ordinaria cero de la función $0:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que envía a $t\mapsto 0$.

Prueba. Considere una función de prueba de $f\in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$, es decir, un ser infinitamente a menudo función derivable $f$ con soporte compacto. Entonces

$$\int_{\mathbb{R}} dt \ f(t)\frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2} ~\stackrel{t=\epsilon x}{=}~\epsilon \cdot \int_{\mathbb{R}} dx \ f(\epsilon x)\cdot\frac{1}{1+x^2} $$ $$ \longrightarrow 0\cdot f(0)\cdot\int_{\mathbb{R}} dx \ \frac{1}{1+x^2} = 0 \cdot f(0)\cdot\pi =0 \qquad \mathrm{for} \qquad \epsilon \to 0,$$

a causa de, por ejemplo, Lebesgue del teorema de convergencia dominada. $\Box$

La distribución sólo se vuelve $\pi\delta(t)$, si se elimina un factor de $\epsilon$. Aquí $\delta(t)$ es la delta de Dirac de distribución (a menudo llamada la función delta de Dirac).

En lugar de utilizar la distribución de la teoría, podemos interpretar la fórmula

$$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon^2}{\epsilon^2+t^2}~=~\delta_{t,0}~=~\left\{\begin{array}{rcl} 1 &\mathrm{for}& t=0 \\ 0 &\mathrm{for}& t\in\mathbb{R}\backslash\{0\} \end{array}\right. $$

como un $t$-pointwise límite. Aquí $\delta_{t,0}$ es la función delta de Kronecker, que debe no debe confundirse con la distribución delta de Dirac. El primero es un funcionamiento normal, mientras que el segundo no lo es. La última fórmula tiene la ventaja añadida, que es cierto que, tanto en un $t$-pointwise sentido y en una distribución sentido, ya que la función delta de Kronecker es cero en casi todas partes (con respecto a la medida de Lebesgue).