Algunas personas muy sabias que aquí solo se me dijo que $\aleph_0 = \mathbb{N}$, es decir, que la cardinalidad del conjunto de los números naturales es sólo el conjunto de los números naturales en sí. Es ahora el consenso general en matemáticas, análisis real, en particular? O tengo completamente el extremo equivocado del palo, como de costumbre?
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goblin
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No hay nada profundo pasando aquí. Es sólo que:
- A menudo es conveniente identificar a $\mathbb{N}$ con el menos infinito ordinal $\omega$.
- A menudo es conveniente identificar cada paquete número cardinal $\kappa$ con el menor ordinal $\alpha$ tal que $|\alpha| = \kappa$. Este es el llamado Von Neumann cardenal tarea.
En virtud de estas identificaciones, nos encontramos con que $\mathbb{N} = \omega = \aleph_0 = |\mathbb{N}|.$ I no leer demasiado en ella, aunque.
DanV
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281
Los objetos de la teoría de conjuntos son conjuntos. Sólo pone en $\sf ZFC$ y de sus teorías. Esto significa que si usted quiere interpretar un objeto matemático en la teoría de conjuntos es necesario asignar un conjunto.
Por supuesto, usted es libre de asignar a cualquier conjunto que desee, siempre y cuando usted tiene el axioma de reemplazo de la teoría de conjuntos es más o menos la interpretación agnóstico (en el sentido de que demuestra que las dos interpretaciones son generalmente intercambiables). Pero todavía usted necesita para recoger algunas de interpretación, al menos, a mostrar una forma de hacer esto es posible.
Así, al igual que el método estándar para la interpretación de los pares ordenados es a través de la definición de Kuratowski, la forma estándar de asignación de los cardenales a bien hacer pedidos conjuntos es coger el menor ordinal de que la cardinalidad como un representante. Así podemos definir los cardenales de infinito [bien disponible] establece por inducción transfinita,
- $\aleph_0=\omega$ (el menos infinito ordinal que existe desde el axioma del infinito, juego de poder y la separación),
- $\aleph_{\alpha+1}$ es el menor ordinal cuya cardinalidad no es menor que $\aleph_\alpha$ (y tal ordinal existe por el teorema de Hartogs),
- Si $\delta$ es un ordinal límite, a continuación, $\aleph_\delta=\sup\{\aleph_\alpha\mid\alpha<\delta\}$ (que existe desde la sustitución y la unión).
No hay nada más a él, y es sólo una manera posible de interpretar estos cardenales. También puede representar a los cardenales de otras maneras (por ejemplo, Scott el truco de darle Scott cardenales, pero se producirá un error si la elección y de la fundación fallar, por ejemplo, si usted permite que urelements y la elección de error), o seleccione no para representar a los cardenales internamente y de trabajo, torpemente podría agregar, con clases de equivalencia de conjuntos.
Es hasta usted. Pero el consenso de lo que el objeto $\aleph_0$ es de sólo existe en la teoría de conjuntos, y no en el análisis. Por lo que los analistas por su opinión es bastante irrelevante para esta pregunta.
Y así, si usted identifica en el conjunto de la teoría de la $\Bbb N$ $\omega$ se puede conseguir que la $|\Bbb N|=\Bbb N$. Ya sea que elija para identificar los números naturales con los ordinales finitos es hasta usted, pero la mayoría de conjunto de los teóricos de la [trabajar en $\sf ZF$ y similares].
Al final del día se puede discutir si es o no funciones son conjuntos de pares ordenados, y si es o no $0$ es un número natural o no. Al final del día esto es sólo falta el punto de fundacional de la teoría. Para dar un fundamento a las matemáticas. Aún tenemos que encontrar una teoría que lo hace tan bien como $\sf ZFC$ (en mi opinión de todos modos, algunos podrían argumentar de manera diferente).
Si usted no está contento con el actual fundamentos de la matemática, sólo hay dos opciones: (1) estudiar y aprender a aceptar que se supone defectos; o (2) encontrar un fundamento diferente.
Gergely Herendi
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