Finito de partición de un grupo por la izquierda cosets de los subgrupos

Question

Deje $G$ ser un grupo. Supongamos que existe una secuencia finita de elementos de $a_1, \cdots, a_n$ y una secuencia finita de subgrupos $H_1, \cdots, H_n$ tal que $G = \bigcup_{i=1}^n a_iH_i$ es un discontinuo de la unión. Si $(G: H_1) = \cdots = (G : H_n) \lt \infty$, $H_1= \cdots = H_n?$

Se me ocurrió este problema cuando tratamos de resolver esta cuestión. Construcción explícita de Haar medir en un grupo profinite

Answer 1

Deje $G = \{ 1,a,b,c,ab,ac,abc,bc\}$ elemental abelian de orden $8$. Entonces $$ G = \{1,a\} \cup \{c,ac\} \cup \{b,bc\} \cup \{ab,abc\}$$ que es la unión de dos cosets del subgrupo $\{1,a\}$ y dos del subgrupo $\{1,c\}$.