Ejemplo (?) de un espacio de Banach que contiene una copia no complementada de sí mismo

Question

Me preguntaba lo siguiente:

Pregunta de fondo: ¿Existe un espacio de Banach $X$ que contiene una copia $X_0 \subset X$ de sí mismo que no se complementa?

Por " $X_0$ es una copia de $X$ ", quiero decir $X_0 \cong X$ a través de un mapa lineal invertible y acotado. Buscando en Google, la respuesta a la pregunta anterior es "sí". Este rosca apunta a un papel que contiene un ejemplo de una copia no complementada de $\ell^1$ en $\ell^1$ . Dado que la prueba parece depender de un análisis bastante complicado, y dado que la respuesta a la pregunta anterior es sólo incidental a los objetivos de ese documento, me preguntaba si podría haber un ejemplo más simple de este fenómeno. En particular, pensé que el siguiente ejemplo podría funcionar:

Ejemplo (?): El ejemplo más famoso, y probablemente el más elemental, de un subespacio no complementado es la copia canónica de $c_0$ en $\ell_\infty$ . Con esto en mente, pensé que tal vez se podría utilizar lo siguiente: \begin{align*} X = c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ldots && X_0 = \{0\} \oplus c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ldots \end{align*} La esperanza es que, si $F \subset X$ era un complemento para $X_0$ Entonces, esto implicaría $\pi_2(F) \subset \ell_\infty$ era un complemento para $c_0 \subset \ell_\infty$ (una contradicción). Aquí, $\pi_2$ es la proyección sobre el segundo factor $X \to \ell_\infty$ .

Para completar el argumento, ya he preguntado esta pregunta pero no ha llamado mucho la atención. Así que, además, hago esta pregunta (espero) mejor motivada. Así que, para reiterar, mi pregunta es:

Pregunta: Es $\{0\} \oplus c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ldots$ complementado en $c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty\oplus \ldots$ ?

Answer 1

Por el Teorema de Banach-Mazur cada espacio de Banach separable se incrusta en $C[0,1]$ -en particular $C[0,1]\oplus \ell_2$ hace. Sin embargo, ninguna copia de este espacio en $C[0,1]$ puede ser complementado, porque si lo fuera, también lo sería $\ell_2$ (como la relación de ser complementado es transitiva ) pero este espacio es reflexivo y $C[0,1]$ tiene el Propiedad de Dunford-Pettis . Bien, incrustar ahora $C[0,1]\oplus \ell_2$ en $C[0,1]$ y forman una suma directa con $\ell_2$ para tener un ejemplo concreto.

En cuanto a tu segunda pregunta, estos dos espacios son isomorfos sin embargo si tratas el primero como un subespacio del segundo, entonces no se complementa con el Phillips-Sobczyk teorema.

En general, si $K$ es un espacio métrico compacto tal que $C(K)$ no es isomorfo a $c_0$ entonces $C(K)$ contiene una copia no complementada de sí mismo ( Por ejemplo , toma $K=[0,1]$ ). Por un resultado de Bourgain, $\ell_1$ (por lo tanto $L_1$ también) contienen copias no complementadas de sí mismas. Lo mismo ocurre con $\ell_p$ donde $p\neq 2,\infty$ así como para el Espacio Tsirelson y su doble.

Hasta donde yo sé, la lista completa de los espacios conocidos hasta ahora $X$ con la propiedad de que toda copia isomorfa de $X$ en $X$ se complementa dice lo siguiente:

• espacios de Banach inyectivos, Por ejemplo , $\ell_\infty(\Gamma)$ o $C(K)$ donde $K$ está muy desconectado,
• Espacios de Hilbert (separables o no),
• $c_0(\Gamma)$ para cualquier conjunto $\Gamma$ ,
• $c_0(\Gamma) \oplus H$ donde $H$ es un espacio de Hilbert,
• espacios de Banach hereditariamente indecomponibles y espacios indecomponibles $C(K)$ -espacios,
• ciertas sumas finitas de los espacios mencionados, pero no todas las sumas: $c_0\oplus \ell_\infty$ contiene una copia no complementada de sí misma.

Todo el mundo es bienvenido a ampliar esta lista.

Answer 2

La respuesta de Tomek es muy completa. Sin embargo, he pensado en añadir una explicación de "nivel inferior".

Propuesta: $\{0\} \oplus c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ldots$ no se complementa en $c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty\oplus \ldots$ .

La idea es utilizar el siguiente lema simple:

Lema: Dejemos que $X \subset Y \subset Z$ sean espacios de Banach anidados.

1. Si $X$ se complementa en $Z$ entonces $X$ se complementa en $Y$ .
2. Si $Y$ se complementa en $Z$ entonces $Y/X$ se complementa en $Z/X$ .

Ahora demostramos la proposición como sigue.

• Supongamos que $\{0\} \oplus c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ldots$ se complementa en $c_0 \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty\oplus \ldots$ .
• Utilizando (2) para cotejar $\{0\} \oplus \{0\}\oplus \ell_\infty \oplus \ell_\infty \oplus \ldots$ , obtenemos que $\{0\} \oplus c_0$ se complementa en $c_0 \oplus \ell_\infty$ .
• Utilizando (1), siendo el subespacio intermedio $\{0\} \oplus \ell_\infty$ , obtenemos que $\{0\} \oplus c_0$ se complementa en $\{0\} \oplus \ell_\infty$ .
• Esta última equivalía a "la copia habitual de $c_0$ se complementa en $\ell_\infty$ ", lo que contradice el Lemma de Phillip.