Me dieron un ejemplo de un cubo que es $2$ mayor que un número cuadrado. El par: $27$ y $25$ .
¿Cuál es la mejor manera de encontrar más parejas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta ecuación diofantina a la que te refieres es un caso especial de una más general Ecuación de Mordell . La clave está en factorizar el lado izquierdo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ . Como nadie lo ha resuelto hasta ahora, me lanzo a repasar la solución estándar para este tipo de problemas
$$x^3 = y^2 + 2 = (y + \sqrt{-2})(y - \sqrt{-2})\tag{1}$$
Obsérvese que ambos factores son relativamente primos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ lo que se deduce del hecho de que cualquier factor común debe dividir
$$y + \sqrt{-2} - y + \sqrt{-2} = 2 \sqrt{-2}$$
y por lo tanto debe tener su norma dividiendo $\bf N$$ [2 \sqrt{-2}] = 8 $ and $ y^2 + 2 $ both. Assume that $ y $ is odd, so that the norm of the common factor forced to be $ 1 $, implying that any such common factor is unit in the ring, i.e., $ |pm 1$.
Desde $y \pm \sqrt{-2}$ son relativamente primos, son cubos por unidades, lo que implica
$$y + \sqrt{-2} = (m_1 + n_1\sqrt{-2})^3 \tag{2}$$ $$y - \sqrt{-2} = (m_2 + n_2\sqrt{-2})^3 \tag{3}$$
para algunos $m_i, n_i \in \mathbb Z$ . Cálculo de la $\sqrt{-2}$ y $\sqrt{-2}$ -partes libres de ambos lados en $(2)$ rinde
$$y = m_1^3 - 6m_1n_1^2\tag{4}$$ $$1 = 3m_1^2n_1 - 2n_1^3\tag{5}$$
Dado que el lado izquierdo de $(5)$ es divisible por $n_1$ Hay que comprobar que $n_1 = 1$ y $n_1 = -1$ respectivamente para las soluciones, la primera de las cuales da lugar a la solución a la que te refieres, es decir $(3, 5)$ y el segundo no te da nada.
Así que, hecho y derecho. Espera... todavía no, no. He asumido que $y$ es impar en un resultado anterior. ¿Y si está igualado? Bueno, eso es lo que tienes que hacer ahora :
Ejercicio: Demostrar que $y$ ni siquiera es
Como pista, esto puede hacerse elementalmente mediante argumentos de paridad a través de la aritmética modular.
