$a_n$ es de Cauchy, pero $\sum\limits_{i=1}^{\infty} |a_{i+1} - a_i|$ diverge

Question

Hay un bonito ejemplo de una secuencia convergente $a_n \in \mathbb{C}$ tal que

$$\sum\limits_{i=1}^{\infty} |a_i - a_{i+1}|$$

diverge? Por ejemplo, uno puede encontrar una secuencia de Cauchy $a_n$ tal que $\frac{1}{n} = |a_n - a_{n+1}|$?

Answer 1

Un enfoque general sería la de buscar un convergente pero no absolutamente convergente, de la serie de $\sum _{n=0} ^\infty x_n$ y, a continuación, defina $(a_i)_i$ forma recursiva tal que $a_{i+1} - a_i = x_i$, $a_0$ arbitrarias, lo que da

$$a_{i+1} = a_0 + \sum _{n=0} ^i x_n .$$

$(a_i)_i$ converge a $a_0 + \sum _{n=0} ^\infty x_n$, por lo que claramente es de Cauchy, mientras que $\sum _{i=0} ^\infty |a_i - a_{i+1}| = \sum _{i=0} ^\infty |x_i| = \infty$ por la suposición sobre la $(x_n)_n$.

Uno en particular, la elección es $x_n = \frac {(-1)^n} n$, lo $|a_n - a_{n+1}| = \frac 1 n$.