La función definida por las integrales convexo?

Question

Deje $g$ ser una positiva integración de la función en $[0,\infty)$, e $G$ integral, que es $G(t) = \int_0^t g(u) \, du$.

Es la función f, definida como $$ f(t) = \int_0^\infty g(u) e^{-(G(u+t) - G(u))} \, du $$ convexo?. Ya es decreciente y acotada por $1 - e^{-G(\infty)}$$G(\infty)$.

He estado probando numéricamente y no ha fallado. También, tengo razones de la "física" del problema que estoy trabajando que este es el caso.

Alguna respuestas, incluso con el más fuerte de hipótesis o contador ejemplos son bienvenidos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Me separé de el integrando $$ f(t)=\int_0^{+\infty}g(u)e^{G(u)}e^{-G(u+t)}\,dt $$ destacar que la convexidad de $f$ $t$ dependerá del plazo $\phi(u,t)=e^{-G(u+t)}$. Para convexidad de $f$ es suficiente para suponer que la función de $g(u)$ es decreciente (es decir, $u_2>u_1$ da $g(u_2)\le g(u_1)$). No es muy restrictiva espero desde $g$ debe ser integrable sobre $[0,+\infty)$.

Si es el caso, entonces la función de $-G(u)$ es convexa ($-G'(u)=-g(u)$ es creciente) y, por lo tanto, la función de $-G(u+t)$ (superposición de estructuras lineales) así como de $\phi(u,t)=e^{-G(u+t)}$ (superposición de estructuras creciente y convexa) son convexas. Por último, la función de $f(t)$ es convexa como un no-negativo combinación lineal de las funciones convexas (continuum muchos no negativo pesos $g(u)e^{G(u)}$ , pero no importa, la prueba es idéntico - por definición de la convexidad).