Estoy en necesidad de un poco de ayuda para entender de una escuela primaria de prueba que implican la Wronskian de $n$ vector de funciones y el siguiente teorema de existencia y unicidad.
Existencia y Unicidad
Supongamos $A(t)$ $f(t)$ son continuas en un intervalo abierto $I$ que contiene el punto de $t_0$. Entonces, para cualquier elección inicial de vectores $x_0$, no existe una solución única a $x(t)$ en todo el intervalo de $I$ para el problema de valor inicial
$$x'(t) = A(t)x(t) + f(t) \space \space , \space \space x(t_0) = x_0$$
La prueba de que estoy leyendo es acerca de cómo si $x_1, \space \ldots \space, x_n$ son soluciones linealmente independientes en $I$, entonces la Wronskian nunca es cero. Así que entiendo que si el Wronskian es cero, esto implica que el vector de funciones son linealmente dependientes que implica que $$c_1 x_1(t_0) \space + \space \ldots \space + \space c_n x_n(t_0) = 0$$
En algún punto de $t_0$ (es decir, no trivial de la solución existe en algún punto). Ahora, aquí está lo que mi libro va a decir:
... Sin embargo, $c_1 x_1(t_0) \space + \space \ldots \space + \space c_n x_n(t_0) = 0$ y el vector de la función $z(t) \equiv 0$ son ambas soluciones a $x' = Ax$ sobre el yo, y ellos están de acuerdo en el punto de $t_0$. Así que estas soluciones deben ser idénticos en $I$, según el teorema de existencia y unicidad (What!?).
Así que esto puede ser obvio para algunos, pero estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión de lo que el teorema de existencia y unicidad significa, en este contexto y cómo se demuestra que es cero para todos los $t$. Cualquier explicación sería apreciada.
