¿Es esta noción alternativa de continuidad en espacios métricos más débil o equivalente a la habitual?

Question

Intentaré ser lo más claro posible.

Para simplificar, supondré que la función $f$ para la que definimos continuidad en algún punto es función real de una variable real $f: \mathbb R \to \mathbb R$ , aunque la misma línea de razonamiento debería ser la misma incluso si hablamos de continuidad de una función en un punto que está definida en algún espacio métrico y que tiene valores en algún espacio métrico. Para definir la continuidad de una función $f$ en algún momento $x_0$ de su dominio tenemos la siguiente definición estándar y famosa, la $\varepsilon$ - $\delta$ definición de continuidad, que dice así:

Definición 1: $f$ es continua en el punto $x_0$ de su dominio si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ de forma que cuando $|x-x_0|<\delta$ entonces $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ .

Está claro que podríamos escribir $\delta (\varepsilon)$ en lugar de $\delta$ porque realmente hay dependencia de $\delta$ en $\varepsilon$ .

Ahora, estaba pensando en una definición alternativa de continuidad que sería así:

Definición 2: $f$ es continua en el punto $x_0$ de su dominio si existen dos secuencias $\varepsilon_n$ y $\delta_n$ tal que para cada $n \in \mathbb N$ tenemos $\varepsilon_n>0$ y $\delta_n>0$ y $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n=\lim_{n\to\infty}\delta_n=0$ y cuando $|x-x_0|<\delta_n$ entonces $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon_n$ .

También podríamos escribir aquí $\delta_n(\varepsilon_n)$ en lugar de $\delta_n$ porque obviamente hay dependencia de $\delta_n$ en $\varepsilon_n$ .

Es evidente que la segunda definición no exige que para cada $\varepsilon$ existe $\delta(\varepsilon)$ (que incluye en sí mismo un número incontable de opciones para $\varepsilon$ ), sino que requiere que para cada miembro de la secuencia $\varepsilon_n$ hay algo de $\delta_n$ (y esto incluye en sí mismo sólo un número contable de opciones porque el conjunto $\{\varepsilon_n : n \in \mathbb N\})$ es contable).

Es evidente que la definición 1 implica la definición 2, y la verdadera pregunta es si es cierta la inversa, en otras palabras:

Si la función es continua en algún punto según la definición 2, ¿lo es también en el mismo punto según la definición 1?

Answer 1

Definición de Indeeed $2$ implica definición $1$ :

Supongamos que $f$ cumple la definición $2$ e intentar demostrar que es continua por definición $1$ .

Sea $\epsilon > 0$ . Entonces, porque $\lim_{n\to\infty} \epsilon_n = 0$ existe un $N$ que $\epsilon_N < \epsilon$ .

Ahora, pongamos $\delta=\delta_N$ y que $|x-x_0|<\delta$ . Porque $\delta=\delta_N$ Esto significa que $|x-x_0|<\delta_N$ y por definición $2$ Esto significa que $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon_N$ .

Esto significa además que $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon_N<\epsilon$ lo que significa que $f$ es continua en $x_0$ .

Answer 2

La segunda definición puede no requiere que un $\delta$ existe para cada $\epsilon > 0$ pero aún así obtenemos esto como consecuencia. Esto se debe a que si $\delta$ funciona para un $\epsilon$ entonces $\delta$ funcionará para cualquier $\epsilon$ También. Así que.., $\delta_{n}$ funcionará para cada $\epsilon \geq \epsilon_{n}$ . Desde $\epsilon_{n} \to 0$ entonces tu segunda "definición de continuidad" implica la original.

Answer 3

Definición 2 implica Definición 1 ,

Sin embargo:

Hay un requisito superfluo en la definición 2. A saber, el requisito de que $\delta_n\to 0$ es no necesario.

Lo más importante en la Definición de continuidad es el hecho de que $\varepsilon>0$ puede ser lo más pequeño posible. Por otra parte, aparte del hecho de que $\delta$ depende de $\varepsilon$ el tamaño de $\delta$ es irrelevante.

Por lo tanto, podría reformularse de la siguiente manera:

Definición 2. La función $f:A\to\mathbb R$ es continua en $x_0\in A$ si existen dos secuencias $\{\varepsilon_n\}_{n\in\mathbb N}$ y $\{\delta_n\}_{n\in\mathbb N}$ de números positivos, con $\lim_{n\to\infty}\varepsilon_n= 0$ siempre que $\,\lvert x-x_0\rvert<\delta_n$ entonces $\,\lvert\,f(x)-f(x_0)\rvert<\varepsilon_n$ .

Answer 4

Las dos definiciones son equivalentes en métrico porque los espacios métricos son primero contable Cada punto de un espacio métrico tiene una base de vecindad contable. (Lo explicaremos más adelante, cuando hablemos de la definición 2).

La norma Definición 1. reformula la definición de topología general de continuidad en un punto en una forma más concreta que aproveche lo que $\Bbb R$ ofrece. La definición general, mostrada en tres formas equivalentes, es la siguiente: $$\begin{align} &\it\text{($\forall$ neighborhoods $V$ of $\,f(x)$)$\,$ $f^{-1}(V)$ is a neighborhood of $x$}\\ &\it\text{($\forall$ neighborhoods $V$ of $\,f(x)$)$\,$ ($\exists$ a neighborhood $U$ of $x$) $\:U \subseteq f^{-1}(V)$}\\ &\it\text{($\forall$ neighborhoods $V$ of $\,f(x)$)$\,$ ($\exists$ a neighborhood $U$ of $x$) $\:f(U) \subseteq V$}\\ \end{align}$$

Sin pérdida de generalidad, la definición 1. restringe la atención no sólo a los barrios abiertos, sino a los barrios abiertos básicos, las bolas abiertas centradas en $x$ y $f(x)$ . En $\Bbb R$ las bolas abiertas alrededor $u$ son todos los intervalos $I_{u,r} = (u-r, u+r), r\in\Bbb R_+$ . Dado $x$ y $f(x)$ , estos vecindarios se especifican por sus radios, por lo que la definición pasa a ser: $$ \forall \varepsilon\,\exists\delta\,f(I_{x,\delta}) \subseteq I_{f(x),\varepsilon},$$ es decir, $$ \forall \varepsilon\,\exists\delta\,\forall y\,(y\in I_{x,\delta}\to f(y)\in I_{f(x),\varepsilon}). $$

Pero tenga en cuenta que $v\in I_{u,r}$ exactamente cuando $\lvert v-u\rvert < r$ por lo que podemos refundir la forma anterior en la definición estándar:

$$ \forall \varepsilon\,\exists\delta\,\forall y\,(\lvert y-x\rvert < \delta \to \lvert f(y)-f(x)\rvert < \varepsilon). $$

Esta forma es mucho más fácil de calcular y aproximar.

Definición 2. aprovecha el hecho de que los espacios métricos son primero contables: para cada $x$ en un espacio métrico $X$ existe una colección contable $(U_{x,n})_{n\in\Bbb N}$ de barrios de $x$ tal que cualquier vecindad $V$ de $x$ contiene algunos $U_{x,n}$ . Dicha colección se denomina base de vecindad (contable) en $x$ . Las secuencias $\varepsilon_n$ y $\delta_n$ dan bases de vecindad contables para $f(x)$ y $x$ respectivamente:

• $U_{x,n} = I_{x,\delta_n}$ ,
• $U_{f(x),n} = I_{f(x),\varepsilon_n}$ .

Esta forma es aún más fácil de calcular. Supongamos la secuencia $(\varepsilon_n)$ se da efectivamente: existe un procedimiento que a la entrada $n$ produce un racional $\varepsilon_n$ . Para muchos $f$ podemos idear otro procedimiento que en las entradas $n$ y $(\varepsilon_i)_{i\le n}$ produce $\delta_n$ . (Piense en las expresiones que surgen en las pruebas de análisis que establecen la continuidad de funciones específicas, por ejemplo, "tomar $\delta = \sqrt 2 \varepsilon/K$ ".) En general, computable $f$ no son sólo continuas en un punto, e incluso podemos dar un procedimiento que calcule un módulo de continuidad para $f$ .

Por último, hay un tercera definición posible en un sentido intermedio entre las definiciones 1. y 2. y también equivalente a ellas:

$f$ es continua en $x$ si para toda sucesión de reales positivos $(\varepsilon_n)_{n\in \Bbb N} \to 0$ existe una secuencia de reales positivos $(\delta_n)_{n\in \Bbb N}$ tal que para todo $n$ y para todos $y$ si $\lvert y-x\rvert < \delta_n$ entonces $\lvert f(y)-f(x)\rvert < \varepsilon_n$ .

En espacios topológicos más generales, que pueden no ser espacios métricos ni siquiera contables en primer lugar, la continuidad no puede caracterizarse completamente por secuencias contables. Sin embargo, puede caracterizarse con la noción más general de a red . Para un gran examen autocontenido de los límites (por así decirlo) de la convergencia secuencial y la versatilidad de las redes, véanse las notas de Pete Clark sobre Convergencia .