Evaluar: $ \sum _ {k=1}^{n}{\frac{k}{n}\binom{n}{k}t^k(1-t)^{n-k}}$

Question

Evaluar:
$$ \sum _ {k=1}^{n}{\frac{k}{n}\dbinom{n}{k}t^k(1-t)^{n-k}} $$

$\dbinom{n}{k}$representa la habitual coeficiente binomial dando el número de formas de elección de $k$ objetos de n objetos.

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Totalmente atascado.¿Cómo puedo capaces de resolver esto?

Answer 1

El uso de $$ \binom{n}{k} \frac{k}{n} = \binom{n-1}{k-1} $$ Entonces $$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} t^{k} (1-t)^{n-k} = t \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} t^{k} (1-t)^{n-1-k} = (t+1-t)^{n-1} t = t $$

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x,y)=(x+y)^n$. Expanda, differentitate w.r.t a $x$, se multiplica por $x$ y el enchufe $x=t$, $y=1-t$. Si usted sabe acerca de los Polinomios de Berstein, usted no debe ser sorprendido el resultado es:$t$.

Spoiler Diferenciar $$n(x+y)^{n-1}=\sum_{k=1}^nk\binom nkx^{k-1}y^{n-k}$$ Multiply by $x$, divide by $n$ $$x(x+y)^{n-1}=\sum_{k=1}^n\frac kn \binom nk x^{k}y^{n-k}$$

Conjunto $x=t,y=1-t$ $$t=\sum_{k=1}^n\frac kn \binom nk t^{k}(1-t)^{n-k}$$