Estoy suponiendo que la siguiente afirmación es verdadera. No estoy encontrando cualquier referencia que se muestra explícitamente.
Declaración: Chern-Simons plazo es topológico, de uno y no contribuye a la Energía-Impulso del tensor.
Mi problema es que no estoy encontrando este! Estoy haciendo algún error y no sé dónde!
Voy a tomar el Chern-Simons plazo
$${\cal L}_{CS} = \frac{\kappa}{2} A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma \mu \nu} \partial_{\mu} A_{\nu}$$
Mediante el teorema de Noether este plazo contribuye a la Tensión-Energía-Impulso del tensor a través de
$$T^{\mu \nu}_{CS} = \frac{\partial {\cal L}_{CS}}{\partial \partial_\mu A_\alpha} \partial^\nu A_\alpha - \eta^{\mu \nu} {\cal L}_{CS}$$
Claramente
$$\frac{\partial {\cal L}_{CS}}{\partial \partial_\mu A_\alpha} = \frac{1}{2} \kappa A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma \mu \alpha}$$
De modo que,
$$T^{\mu \nu}_{CS} = \frac{\kappa}{2}A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma \mu \alpha} \partial^\nu A_\alpha - \eta^{\mu \nu} \frac{\kappa}{2} A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma \lambda \gamma} \partial_{\lambda} A_{\gamma}$$
Y no es cero.
He intentado otra cosa... puede ser lo que es igual a cero es la contribución a la energía-conservación del momento... Así que calcular los siguientes
$$\partial_\nu T^{0 \nu}_{CS} = \frac{\kappa}{2}\partial_\nu \left[A_\sigma \varepsilon^{\sigma 0 \alpha} \partial^\nu A_\alpha - \eta^{0 \nu} A_\sigma \varepsilon^{\sigma \beta \alpha}\partial_\beta A_\alpha\right]$$
la apertura se
$$\frac{2}{\kappa}\partial_\nu T^{0 \nu}_{CS} = \partial_0 \left[A_\sigma \varepsilon^{\sigma 0 \alpha} \partial^0 A_\alpha\right] + \partial_i \left[A_\sigma \varepsilon^{\sigma 0 \alpha} \partial^i A_\alpha\right] - \partial^0 \left[A_\sigma \varepsilon^{\sigma 0 \alpha}\partial_0 A_\alpha\right] - \partial^0 \left[ A_\sigma \varepsilon^{\sigma i \alpha}\partial_i A_\alpha\right] \\= + \partial_i \left[A_\sigma \varepsilon^{\sigma 0 \alpha} \partial^i A_\alpha\right] - \partial^0 \left[ A_\sigma \varepsilon^{\sigma i \alpha}\partial_i A_\alpha\right]$$ El cierre de la espalda
$$\frac{2}{\kappa}\partial_\nu T^{0 \nu}_{CS} = \left[\varepsilon^{\sigma 0 \alpha}\partial^i - \varepsilon^{\sigma i \alpha} \partial^0 \right] (A_\sigma \partial_i A_\alpha)\\ \frac{2}{\kappa}\partial_\nu T^{0 \nu}_{CS} = \left[\varepsilon^{i \sigma \alpha} \partial^0 -\varepsilon^{0 \sigma \alpha}\partial^i \right] (A_\sigma \partial_i A_\alpha)$$
que no es algo trivial cero. Donde está mi error?
Déjame seguir a partir de ahora (basándose en las sugerencias de Jamals en las respuestas) la idea de que nos tenemos que fijar en el indicador de aviso de que no hay contribución a la Tensión de la Energía del Tensor.
Podemos calcular que la forma que he encontrado para $T_{CS}^{\mu \nu}$ no es invariante gauge, de hecho, haciendo $A^\mu \rightarrow A^\mu + \partial^\mu \chi$ hemos
$$T_{CS}^{\mu \nu} \rightarrow T_{CS}^{\mu \nu} - \kappa (\varepsilon^{\mu \sigma \alpha} \partial_\sigma A_\alpha)\partial^{\nu}\chi $$
Si nos fijamos específicamente a $T^{00}$ hemos
$$T_{CS}^{00} = - \kappa A_0 \varepsilon^{ij} \partial_i A_j$$
Así que con un medidor de transformación,
$$T_{CS}^{00} \rightarrow T_{CS}^{'00} = - \kappa A_0 \varepsilon^{ij} \partial_i A_j - \kappa (\varepsilon^{0 i j} \partial_i A_j)\partial^{0}\chi $$
Podemos elegir un medidor donde $\partial^{0}\chi = - A^0$ y, a continuación,$T_{CS}^{'00} = 0$, ya que buscabas.
De todos modos, para $T_{CS}^{'\mu \nu}$
$$T^{'\mu \nu}_{CS} = \frac{\kappa}{2}A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma \mu \alpha} \partial^\nu A_\alpha - \eta^{\mu \nu} \frac{\kappa}{2} A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma \lambda \gamma} \partial_{\lambda} A_{\gamma} - \kappa (\varepsilon^{\mu \sigma \alpha} \partial_\sigma A_\alpha)\partial^{\nu}\chi $$
Las cosas no se ven bien.
Vamos a echar un vistazo en el impulso de vectores,
$$T^{'i 0}_{CS} = \frac{\kappa}{2}A_{\sigma} \varepsilon^{\sigma i\alpha} \partial^0 A_\alpha + \kappa (\varepsilon^{i\sigma \alpha} \partial_\sigma A_\alpha)A^{0} $$
Es puro calibre! Cada término implican $A^0$ y hemos fijado que $A^0 = \partial^0 \chi$
