Deje $\mathbb Z^+$ ser el conjunto de todos los enteros positivos y
deje $\mathbb C$ ser el conjunto de todos los números complejos.
Una función de $f:\mathbb Z^+ \to \mathbb C$ se llama multiplicativo si
$f(1) = 1$ $f(a,b) = f(a)f(b)$ para todos los relativamente primos $a$$b$.
Deje $p_i$ representan el $i^\text{th}$ número primo. Luego cada entero positivo $x$ puede escribirse de forma única como producto infinito
$\displaystyle x = \prod_{i=1}^\infty p_i^{\alpha_i}$
donde requerimos que todos, pero un número finito de la $\alpha_i$ ser igual a $0$.
De ello se sigue que, si $f$ es una función multiplicativa, entonces
$\displaystyle f(x) = \prod_{i=1}^\infty f(p_i^{\alpha_i})$.
La convolución de dos funciones multiplicativas, decir $f$$g$,
se define como $f*g$ donde
$$(f*g)(n) = \sum_{ab=n} f(a)g(b)$$
El conjunto $\mathcal F$ de todos los multiplicativo de funciones es un grupo abelian con respecto a la convolución del operador.
Dos importantes funciones multiplicativas se $\epsilon$ $\mathbf 1$ se define como
$$\epsilon(n) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{If}\; n = 1\\
0 & \text{If}\; n \ne 1
\end{array} \right.$$
y
$$ \mathbf 1(n) = 1$$
Es fácil probar que $\epsilon$ es la identidad multiplicativa del grupo $[\mathcal F, *]$.
Para cualquier función multiplicativa $f$, ten en cuenta que
$$\displaystyle (f*\mathbb 1)(n) = \sum_{a|n} f(a)$$
$\mathbf{Theorem. }$ Deje $f$ $g$ ser multiplicativa funciones. Definir
$F = f*\mathbf 1$ $G = g*\mathbf 1$ . Definir $h = f*g$ y
$H = h*1$. A continuación, $H(n) = F(n)G(n)$ para todos los enteros positivos $n$.
En una manera, $\; f*1$ se comporta de forma muy parecida a la de un transformada de Fourier de $\; f$.
De ello se desprende que hay momentos en los que sabemos de lo $F = f*\mathbf 1 $ es y necesitamos saber lo $f$ es. Aquí es donde $\mu$, la función de inversión de Möbius, viene al rescate. $\mu$ se define como la inversa de a $\mathbf 1$. Que es
$$\mathbf 1 * \mu = \epsilon$$
Podemos hacer un par de cálculos. Deje $p$ ser un número primo y deje $\alpha$ que no sea un número entero negativo.
\begin{align}
(1*\mu)(1) &= \epsilon(1)\\
\mu(1) &= 1
\end{align}
\begin{align}
(1*\mu)(p) &= \epsilon(p)\\
1 + \mu(p) &= 0\\
\mu(p) &= -1
\end{align}
\begin{align}
(1*\mu)(p^2) &= \epsilon(p^2)\\
1 + \mu(p)+\mu(p^2) &= 0\\
\mu(p^2) &= 0\end{align}
\begin{align}
(1*\mu)(p^3) &= \epsilon(p^3)\\
1 + \mu(p)+\mu(p^2)+\mu(p^3) &= 0\\
\mu(p^3) &= 0\end{align}
Vemos que
$$\mu(p^\alpha) = \left\{
\begin{array}{rl}
1 & \text{If}\; \alpha = 0\\
-1 & \text{If}\; \alpha = 1\\
0 & \text{If}\; \alpha \ge 2
\end{array} \right.$$
Se puede inferir que la definición habitual de $\mu$ a partir de esto, y el hecho de que $\mu$ es una función multiplicativa.
