Gronwall del Lexema (Discrete versión)

Question

Tengo el siguiente ejercicio:

Gronwall del lexema (Discrete versión): Deje $(u_n)$ $(w_n)$ ser no negativo de secuencias de satisfacciones $$u_n \leq \alpha + \sum_{k=0}^{n-1}u_kw_k \quad \forall n.$$ A continuación, para todos los $n$ tiene $$u_n \leq \alpha \exp\biggl( \sum_{k=0}^{n-1} w_k \biggr).$$ Prueba de ello es el lema por los siguientes pasos: (i) Verificar la identidad $$1+\sum_{k=0}^{n-1}\biggl( \prod_{i = 0}^{k-1} (1+w_l) \biggr)w_k \leq \prod_{k = 0}^{n-1} (1+w_k).$$ (ii) la Prueba por inducción que para todo $n$ tiene $$u_n \leq \alpha \prod_{k = 0}^{n-1} (1+w_k).$$ (iii) Deducir el lema.

Traté de resolver este ejercicio por mí mismo sin resultados en los puntos (ii) y (iii) (ya sé cómo prueba el primer punto). Alguien puede proporcionar algunas ideas o un paso a paso de la solución?

Answer 1

(ii) base Muestran que la instrucción tiene por $n=1$$u_0 \leq \alpha$. inductivo paso de Asumir $$u_j \leq \alpha \cdot \prod_{k=0}^{j-1} (1+w_k) \qquad (j=0,\ldots,n) \tag{1}$$ Then $$\begin{align} u_{n+1} &\leq \alpha+ \sum_{j=0}^{n} w_j \cdot u_j \stackrel{(1)}{\leq} \alpha+\sum_{j=0}^{n} \alpha \cdot w_j \cdot \prod_{k=0}^{j-1} (1+w_k) \\ &= \alpha \cdot \left(1+ \sum_{j=0}^n \prod_{k=0}^{j-1} (1+w_k) \cdot w_j \right) \stackrel{(i),\alpha \geq 0}{\leq} \alpha \cdot \prod_{k=0}^n (1+w_k) \end{align}$$ i.e. $(1)$ holds also for $j=n+1$.

(iii) Sugerencia tenga en cuenta que $1+x \leq e^x$ todos los $x \geq 0$.