Supongamos que $a_0, a_1,..., a_{n+1}$ son números naturales tales que $a_0 = a_{n+1} = 1$, y para cualquier $1<i\leq n$, $a_i | a_{i-1} + a_{i+1}$ y $a_i >1$. Es cierto que uno de estos números deben ser iguales a las $2$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mark Bailey
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Respuesta a la Orignal Pregunta:
No.
Considerar el caso más sencillo, n = 1. $a_0$ = 1, $a_1$ = 1, y $a_2$ = 1. Esto satisface la condición y nada es igual a 2.
Respuesta a la Versión Editada de la Pregunta:
Al completar la prueba es bastante larga, y que implica la consideración de varios rama de posibilidades para la secuencia y el módulo de la aritmética. En definitiva, este es el hecho que debe ser probado: Dado $a_0 = 1$$a_1 > 2$, es imposible proceder de nuevo hacia la $a_{n+1} = 1$ sin golpear cada entero positivo entre el $a_1$ y 1 (tenga en cuenta que esto incluye a 2). En otras palabras, el siguiente nuevo número más bajo en la secuencia no puede ser menos que el actual número más bajo en la secuencia de menos 1.
Más Explicación, como se pide en el comentario:
Considere la siguiente familia de secuencias simples que satisfacen las restricciones del problema:
Vamos a la b y la m ser cualquier enteros > 1. Deje que la primera m elementos ($a_j$ donde $0 \le j < m$) ser igual a $bj+1$. Deje $a_m$$b$. Y dejar que cada elemento a partir de entonces en uno menos que el elemento anterior, dando un total de $b + m$ elementos. Por ejemplo, si b es 4 y m es 5, la secuencia es 1, 5, 9, 13, 17, 4, 3, 2, 1.
También vamos a añadir a esta familia el espejo las imágenes de estas secuencias, y el caso más simple, 1, 2, 1, que se produjo al $m = 0$, independientemente del valor de b. Vamos a llamar a esta familia de secuencias F. tenga en cuenta que cada miembro de F satisface las restricciones y cada miembro de la familia contiene un 2.
Lo que sostengo es que cada una de las posibles secuencias que satisface las restricciones encaja en un superconjunto F', que incluye los elementos de algunos de los miembros de la F, en el mismo orden, con otros elementos entre los miembros de la F. En otras palabras, cada desviación en el patrón que no es como la secuencia representada por los miembros de F en última instancia, debe volver a la F de la familia patrón. La exploración de cada posible tipo de desviación de la pauta y demostrando que se devuelve en última instancia, a un elemento de la F de la familia patrón es lo que toma un poco más de trabajo. De hecho, en cualquier caso en que $m > 2$ podría ser reformulada como una desviación de la aún más simple conjunto de las secuencias en las $m = 1$. Y de hecho, todas las secuencias en las $m = 1$ podría ser reformulada como una desviación desde el caso más simple donde $m = 0$. La exploración de todas estas permutaciones se puede dividir en un manejable número finito de casos con el módulo de la aritmética. Pero es larga, y más de lo que tengo tiempo para más.
