Probar que Si $f$ es la función polinomial incluso de grado $n$ siempre $f\geq0$$f+f'+f''+\cdots+f^{(n)}\geq 0$.

Question

No puedo resolver este problema:

Supongamos $f$ es la función polinomial incluso de grado $n$ siempre $f\geq0$.

Demostrar que $f+f'+f''+\cdots+f^{(n)}\geq 0$.

Answer 1

Deje $g=f+f'+\cdots+f^{(n)}$ y deje $h(x)=e^{-x}g(x)$. Tenga en cuenta que $f^{(n+1)}=0$, por lo que $$h'(x)=e^{-x}(g'(x)-g(x))=-e^{-x}f(x)\le 0,$$ es decir, $h$ es decrearing en $\mathbb R$. Desde $g$ es un polinomio, $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=0$. De ello se desprende que $h\ge 0$, y, por tanto,$g\ge 0$.

Answer 2

Alternativamente, por un Máximo estándar del Teorema del Valor argumento, el grado del polinomio $g=f+f'+\dots+f^{(n)}$ tiene un mínimo global en algún punto de $a$. A continuación,$g(a)=f(a)+g'(a)\ge 0$, lo $g\ge g(a)\ge 0$.