¿Cuál es el significado de la Riesz ' lema s?

Question

Estoy leyendo sobre el lema de Riesz, pero estoy luchando para entender el verdadero significado de la misma. He leído diferentes pruebas de la lemma y a pesar de que entendía las pruebas todavía no estoy seguro qué significa el lema o cuáles son sus consecuencias o por qué es importante. ¿Hay una explicación simple de una representación gráfica de la lema?

Gracias.

Answer 1

Deje $X$ ser una normativa espacio y $Y \subseteq X$ ser un cerrado adecuada subespacio. Nos deja denotar por $U = \{ x \in X \, | \, |x| = 1 \}$ la unidad de la esfera de $X$. Dado $x \in U$, ¿qué podemos decir acerca de la $d(x,Y)$? Obviamente hemos

$$ 0 \leq d(x,Y) \leq d(x,0) = |x| = 1. $$

Riesz lema nos dice que podemos elegir $x \in U$ tal que $d(x,Y)$ es arbitrario cerca de $1$.

Si $X$ es un espacio de Hilbert, entonces tenemos una construcción geométrica que maximiza $d(x,Y)$ y nos da un vector $x \in U$$d(x,Y) = 1$. Para ver esto, vamos a $x \in U$ y se descomponen como $x = y + y^{\perp}$$y \in Y$$y^{\perp} \in Y^{\perp}$. Entonces

$$ d(x,Y)^2 = \inf_{y' \in Y} d(x,y)^2 = \inf_{y' \in Y} |y + y^{\perp} - y'|^2 = \inf_{y' \in Y} \left( |y - y'|^2 + |y^{\perp}|^2 \right) = |y^{\perp}|^2 $$

y así vemos que si queremos maximizar la expresión, tenemos que elegir el $x \in Y^{\perp}$$|x| = 1$.

Sin embargo, si $X$ es simplemente una normativa espacio, no tenemos una noción de proyección ortogonal y la Pytaghoras teorema por lo que no puede realizar la construcción geométrica de arriba. Aún así, Riesz lema nos dice que podemos elegir $x \in U$ (de un modo menos evidente y no de manera constructiva) tal que $d(x,Y)$ será arbitrario cerca de $1$ (y no podemos neccesarily hacer $d(x,Y) = 1$).

En un seperable espacio de Hilbert $X$, usted sabe que usted puede elegir una completa ortonormales sistema de $(e_i)$ que es un conjunto de vectores linealmente independientes tales que $\overline{\operatorname{span} \{ e_i \}} = X$$\left< e_i, e_j \right> = \delta_{ij}$. Si $X$ es simplemente una normativa espacio, entonces Riesz' lema nos permite construir una colección de $(e_i)$ de vectores linealmente independiente con $\overline{\operatorname{span} \{ e_i \}} = X$, $|e_i| = 1$ y $|e_i - e_j| > 1 - \varepsilon$$i \neq j$. Esto puede servir como un áspero sustituto de un ortonormales sistema en general normativa espacio y es lo suficientemente bueno como para generalizar algunos de los argumentos que trabajan en el espacio de Hilbert contexto trivialmente a la más general de configuración normativa de espacios vectoriales.

Por ejemplo, si $X$ es un espacio de Hilbert que no es finito dimensional, la existencia de un ortonormales secuencia en la $X$ revela de inmediato que la unidad de la esfera de $X$ no es compacto. Pero la existencia de un "Riesz-ortonormales" secuencia en la $X$ hace lo mismo con exactamente la misma prueba.

Answer 2

Consideremos, en primer lugar un espacio de Hilbert con un subespacio cerrado $Y$. Entonces existe el complemento ortogonal $Y^{\bot}$. En particular, uno puede encontrar un vector unitario $x$ tal que $x\bot Y$, o lo que es equivalente, $|x-y|\ge 1$ todos los $y\in Y$.

La situación de los espacios de Banach (y normativa de espacios en general) es más complicado. Uno no puede encontrar una unidad "normal" vector a un subespacio cerrado $Y$, es decir, para obtener $|x-y|\ge 1$ todos los $y\in Y$ es imposible. Sin embargo, es posible encontrar un "casi normal" vector unitario (de hecho, arbitraria cerca de lo "normal") en el sentido de que $|x-y|>r$, $\forall y\in Y$, donde $r<1$ puede ser elegido arbitraria cerca de uno.

Riesz del lema dice que para cualquier subespacio cerrado $Y$ uno puede encontrar "casi perpendicular" vector del subespacio.

Answer 3

Muchos espacios normados familiar (por ejemplo $\mathbb R^n$) son espacios de Hilbert. Eso significa que tiene sentido para encontrar un vector perpendicular a un subespacio dado (plano). En el caso de $\mathbb R^n$ es fácil ver si $V$ es un subespacio adecuado entonces podemos elegir un vector $u$ perpendicular a él en la esfera de la unidad y se $d(u,V) \ge 1$. Lema de Reisz dice este proceso puede ser casi generalizada a normalizadas espacios donde no existe ninguna noción de un vector perpendicular.