¿Existencia de surjection implica existencia de inyección?

Question

Que $A$ y $B$ ser. Si existe un surjection $f : A \to B$ entonces existe una inyección $g : B \to A$.

Prueba: da $b \in B$ seleccionar un elemento $a \in f^{-1}(b)$. Indica que este elemento $g(b)$. Entonces $g(b) \in f^{-1}(b)$de % que $f(g(b)) = b$. $g(b_1) = g(b_2)$ Implica, en consecuencia, $f(g(b_1)) = f(g(b_2))$ así que $b_1 = b_2$. Concluimos $g$ es una inyección. QED

¿Es el axioma de elección necesaria para hacer este argumento riguroso?

Answer 1

No tengo una prueba de que la existencia de cualquier inyección depende el axioma de elección, pero la existencia de una inversa derecha es equivalente a la CA, como sigue. Sea un conjunto que no contiene $X$ $\emptyset$ y considerar el conjunto de $Y = \{(z, A)\ |\ z\in A \in X\}$. Definir $f:Y\rightarrow X$ $f((z,A)) = A$. Si $g$ es una inversa derecha de $f$, entonces el $g^*(A)$ dada por el primer elemento del par ordenado $g(A)$ es una función de elección.

Answer 2

Lo es. De hecho, creo que se puede mostrar que la verdad universal de este teorema es equivalente a axioma de la opción.