Evaluar

Question

Estoy tratando de averiguar cómo tomar esta integral indefinida:

$$ \int{\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx}$$

Traté de simplificar y reorganizar, y este es el mejor que tengo: $$ \int{\frac{1}{\tan x + 1 } } dx$$

Pero yo todavía no puedo entender cómo integrar a partir de ahí. Sé que es integrable, como Wolfram Alpha indica que la integral es $ \frac{1}{2}(x+\ln{(\sin x + \cos x)})+C$, pero no puedo averiguar los pasos a derivar. ¿Alguien sabe cómo evaluar esta integral?

Answer 1

General (pero no necesariamente eficiente) la herramienta es la sustitución de Weierstrass $t=\tan(x/2)$.

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ Y $dx=\frac{2}{1+t^2}$. Hacer la sustitución. Terminamos necesitando la siguiente integral fea: $$\int \frac{2(1-t^2)}{(1+2t-t^2)(1+t^2)}\,dt.$ $ Somos integraing una función racional y se puede hacer uso de fracciones parciales. Pero se necesita algo de trabajo.

La misma idea funciona en principio para cualquier función racional de $\sin x$ y $\cos x$.

Answer 2

Aviso que ahora deja $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ $ por tanto $$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos x}{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx$ $ $x+\frac{\pi}{4}=t$ % $ $$I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos \left(t-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{\sin t + \cos t}{\sin t}dt=\frac{1}{2}\left(t+\ln {\left|\sin t\right|}\right)+C_1\\=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\pi}{4}+\ln {\left|\sin x+\cos x\right|}\right)+C_1=\frac{1}{2}\left(x+\ln {\left|\sin x+\cos x\right|}\right)+C$

Answer 3

$\displaystyle \int \frac{1}{1+ \tan x} \ dx $

$ \displaystyle = \int \frac{1}{1+u} \frac{1}{1+u^{2}} \ du$ (que $u = \tan x$)

$ \displaystyle = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1+u} + \frac{1-u}{1+u^{2}} \right) \ du$

$ \displaystyle = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1+u} - \frac{u}{1+u^{2}} + \frac{1}{1+u^{2}} \right) \ du $

$ \displaystyle =\frac{1}{2} \left(\ln(1+u) - \frac{1}{2} \ln(1+u^{2}) + \arctan u \right) + C$

$ \displaystyle =\frac{1}{2} \left(\ln(1+u) - \ln(\sqrt{1+u^{2}}) + \arctan u \right) + C$

$ \displaystyle = \frac{1}{2} \left( \ln(1+\tan x) - \ln (\sqrt{1+\tan^{2}x}) + x \right) + C$

$ \displaystyle = \frac{1}{2} \left( \ln(1+\tan x) - \ln (\sec x) + x \right) + C$

$ \displaystyle = \frac{1}{2} \Big( \ln \big(\frac{1+ \tan x}{\sec x}\big) + x \Big) + C$

$ \displaystyle = \frac{1}{2} \left( \ln (\cos x + \sin x ) + x \right) + C $