Aplicación de Teorema del valor medio

Question

Basta con demostrar que existe la probabilidad de que se produzca un perjuicio.

Answer 1

Vamos $$F(x) := f(b)-f(x)- \frac{1}{2} (b-x) \cdot (f'(b)+f'(x)) - K \cdot (b-x)^3$$ where $$K := \frac{f(b)-f(a)-\frac{1}{2} (b-a) \cdot (f'(b)+f'(a))}{(b-a)^3} \tag{1}$$ A continuación, $F$ es diferenciable en a $[a,b]$ y $F(a)=F(b)=0$. ($K$ elegido es tal que $F(a)=0$.) Por el teorema de Rolle , existe $\varrho \in (a,b)$ tal que $F'(\varrho)=0$, es decir,

$$ \begin{align} 0 = F'(\varrho) &= \underbrace{-f'(\varrho)+ \frac{1}{2} (f'(b)+f'(\varrho))}_{\frac{1}{2} (f'(b)-f'(\varrho))}- \frac{1}{2}(b-\varrho) \cdot f''(\varrho) + 3K \cdot (b-\varrho)^2 \\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} f'(b) &= - \frac{1}{2}f'(\varrho) - \frac{1}{2}f''(\varrho) \cdot (b-\varrho) + 3K \cdot (b-\varrho)^2 \tag{2} \\ \Leftrightarrow g(b) &= g(\varrho) + g'(\varrho) \cdot (b-\varrho) +3K \cdot (b-\varrho)^2 \end{align} $$

donde $g:=-\frac{1}{2} f'$. Esto ya parece una expansión de Taylor de $g$. De hecho, mediante la aplicación del teorema de Taylor a $g$ obtenemos

$$\begin{align} g(b) &= g(\varrho) + g'(\varrho) \cdot (b-\varrho) + \frac{g^{(2)}(\varepsilon)}{2!} \cdot (b-\varrho)^2 \\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} f'(b) &= - \frac{1}{2} f'(\varrho) - \frac{1}{2} f''(\varrho) \cdot (b-\varrho) - \frac{1}{2} \cdot \frac{f^{(3)}(\varepsilon)}{2!} \cdot (b-\varrho)^2 \tag{3} \end{align}$$

para algunos $\varepsilon \in (\varrho,b) \subseteq (a,b)$. Ahora restamos $(3)$$(2)$:

$$\begin{align} 0 &= 3K \cdot (b-\varrho)^2 + \frac{f^{(3)}(\varepsilon)}{4} \cdot (b-\varrho)^2 \\ \Rightarrow K &= - \frac{1}{12} \cdot f^{(3)}(\varepsilon) \end{align}$$ Por lo tanto

$$ \begin{align} - \frac{1}{12} \cdot f^{(3)}(\varepsilon) &= K \stackrel{(1)}{=} \frac{f(b)-f(a)-\frac{1}{2} (b-a) \cdot (f'(b)+f'(a))}{(b-a)^3} \\ \Leftrightarrow f(b) &= f(a) + \frac{1}{2} (b-a) \cdot (f'(b)+f'(a)) - \frac{1}{12} \cdot (b-a)^3 \cdot f^{(3)}(\varepsilon) \end{align}$$