$ (\mathbb{R}^3, \|.\|_1) $ y $ (\mathbb{R}^3, \|.\|_\infty) $ no puede ser isométrico

Question

¿Nadie puede probar que el % de espacios $ (\mathbb{R}^3, \|.\|_1) $y $ (\mathbb{R}^3, \|.\|_\infty) $ no pueden ser isométricos?

Gracias.

Answer 1

Que $B$ ser una hasta la bola en uno de estos espacios. (Es decir, escoger un punto y aspecto en todos los puntos con distancia menor o igual a uno desde ese punto.) Mira esos puntos $x$ $B$ tal que existe otra unidad bola $B'$ tal que $B \cap B' = \{x\}$. En uno de esos espacios hay 8 de estos puntos, en el otro sólo 6.

Answer 2

Aquí es cómo abordo este problema.

Que $f:V\to W$ es un isometry entre dos espacios normados. Si converge $v_n$ $v$ $V$ y $|v_n - v| \to 0$ y $f$ es un isometry sigue que $|f(v_n) - f(v)| = |f(v_n-v)| = |v_n-v| \to 0$. Por lo tanto, converge la $f(v_n)$ $f(v)$ $W$.

Así, si usted puede encontrar una secuencia de $\mathbb{R}^3$ que converge con respecto a una norma pero no el otro que significa los dos normalizadas espacios no son isométricos.