Integración de las ecuaciones con las unidades

Question

Yo estaba mirando a través de una vieja copia de Barron AP Física y encontré este problema relacionado con el impulso que inicialmente estaba confundido acerca de cómo integrar.

Ejemplo 6.1 en un choque con una pared dura de $t=0$$t=2\text{ s}$, la fuerza que actúa sobre un $2\text{-kg}$ objeto es dado por la ecuación de $\mathbf{F} = (4\mathrm{\ kg\ m/s^4})t(2s-t)\hat{i}$

Que el trabajo que la integral es igual a:

$$\frac{16}{3}\hat{i}\frac{\text{kg m}}{\text{s}}$$

Estoy confundido sobre el papel de las unidades en el problema.

Buscando la respuesta, parece que si ignorara a todas las unidades y simplemente integran $4t\cdot(2-t)$ que me daría $16/3$, y debido a que es una fuerza sé que es $\mathrm{kg\,m/s}$ o $\mathrm{N}$.

Por qué sería hacer caso omiso de las unidades en la integral pesar de que es algo intuitivo para mí (aparte de que sé que el resultado final debe ser una fuerza) y me siento como es posible que me metan en problemas con otros problemas.

Alguien puede explicar cómo es que los valores escalares de la unidad original cantidades dará la respuesta correcta?

Answer 1

Usted sabe que usted puede tirar de un multiplicativo constante en frente de una integral, derecho?

$$\int cf(t)\mathrm{d}t = c\int f(t)\mathrm{d}t$$

donde $f(t)$ es cualquier función de $t$, como $t^2$ o $t(2\text{ s} - t)$ (e $c$ no depende de $t$).

Las unidades pueden ser parte de ese factor constante. En este caso, el factor constante es $4\mathrm{\ kg\ m/s^4}$.

La razón de todo esto es que las obras de una integral es básicamente una adición. Estás calcular el valor de una función, en su caso $4\mathrm{\ kg\ m/s^4}t(2\text{ s} - t)\hat{i}$ en algún momento $t$, multiplicando por un pequeño incremento en el tiempo $\mathrm{d}t$, y sumando el resultado de todos los tiempos posibles. Echa un vistazo a las unidades de las diferentes piezas que se suman:

$$\begin{align} &4\color{blue}{\mathrm{\ kg\ m/s^4}}\color{red}{t}\color{green}{(2\text{ s} - t)}\hat{i}\color{purple}{\mathrm{d}t} \\ \text{units: }&(1)\color{blue}{(\mathrm{kg\ m/s^4})}\color{red}{(\text{s})}\color{green}{(\text{s})}(1)\color{purple}{(\text{s})} = \frac{\text{kg m}}{\text{s}^4}\text{s}^3 = \frac{\text{kg m}}{\text{s}} \end{align}$$

Así que usted está agregando cosas que tienen unidades de $\text{kg m/s}$. Por lo tanto, su resultado va a tener las mismas unidades. Ya que las unidades son un factor constante, no importa si usted tire de ellos por adelantado o dejarlos en la integración.

Answer 2

Este es probablemente por qué es útil el uso de variables. Si solo dejamos $q=4\,{\rm kg\,m/s^4}$$h=2\,{\rm s}$, entonces su fuerza es $$ \mathbf{F}=qt\left(h-t\right)\hat{\mathbf{i}} $$ Nosotros, a continuación, la integración de esta en el tiempo $t$, $$ \int_0^t\mathbf{F}\,dt=q\int_0^tt'\left(h-t'\right)dt'\,\hat{\mathbf{i}} $$ tenemos, $$ \int_0^t\mathbf{F}\,dt'=q\frac{-2t^3-6ht^2}{6}\,\hat{\mathbf{i}}\Rightarrow\frac{16}{3}[q][t][h]\hat{\mathbf{i}} $$ donde $[q]$ representa las unidades de $q$ y de la misma manera que para las otras variables. Mira esto, obtenemos $$ \rm{\frac{kg\,m}{s^4}\cdot s^3=\frac{kg\,m}{s}} $$ que es la unidad de impulso, no por la fuerza.

Es mi opinión, entonces, que el modo apropiado para envolver las unidades en una variable, integrar, a continuación, aplicar las unidades.