Encontrar todas las soluciones en N de la siguiente ecuación de Diophantine

Question

$(x^2 − y^2)z − y^3 = 0$

divido por $z^3$ y buscar soluciones racionales de la ecuación de $A^2 − B^2 − B^3 = 0.$ el punto $(A,B) = (0, 0)$ es un punto singular, que es que una línea a través de este punto reunirá dos veces en $(0, 0)$ de la curva. Ahora quiero utilizar Diofanto acorde método utilizando las líneas pasando por $(0, 0)$ pero parece que no puedo pasar de este punto

Answer 1

Al menos por un nonvertical de la línea de $B=kA$ cuando se está conectado a $$A^2-B^2-B^3=0 \tag{1}$$ da $$A^2-k^2A^2-k^3A^3=0,$$ donde aquí el doble de la raíz corresponde a $A^2$ ser un factor. Después de dividir por que y resolviendo $A$ uno se $A=(1-k^2)/k^3,$, por lo que también se $B=kA=(1-k^2)/k^2.$ Finalmente un cheque revela estos valores de $A,B$ satisfacer $(1).$ Así que esta es una parametrización de la solución para racionales, que cubre la mayoría de los puntos de la curva.

Hay, por supuesto, todavía sería mucho trabajo para ir de un racional parametrización para encontrar todos los enteros positivos soluciones a la ecuación.

Agregó nota: Para la puesta en ecuación $$(x^2-y^2)z-y^3=0, \tag{2}$$ if one puts the $k$ parameter in the above rational parametrization equal to $m/n,$ where we assume $0<m<n$ in order that we have $0<k<1,$ then we can work backwards and get a collection of positive integer solutions $(x,y,z)$ to equation $(2).$ Las expresiones resultantes son $$x=n(n^2-m^2),\ \ y=m(n^2-m^2),\ \ z=m^3.\tag{3}$$ Tenga en cuenta que si dado un número entero positivo de solución a $(2)$ multiplicamos cada una de las $x,y,z$ por algún entero positivo $k$ decir, otro de los resultados de la solución. Por lo que se podría llamar una solución "primitivo" siempre y cuando el mcd de a$x,y,z$$1$. En este sentido, la pregunta que queda es si hay primitivo soluciones no se incluyen en las ecuaciones $(3).$ he tenido éxito hasta ahora en esta, después de haber demostrado que al menos que $z$ debe ser un cúbicos factor de $y^3.$

Answer 2

$$(x^2-y^2)z-y^3=0$$

$$ x^2 z = y^2 (y + z) $$

Que $λ$ ser la gcd de $x$ y $y$, entonces se tiene:

$$ x = λn, y=λm, (m, n) = 1$$

y la ecuación se convierte:

$$ n^2 z = m^2 (λ m + z) $$

Entonces, porque (m, n) = 1, tenemos que tener: $z=m^2 ω$

$$ n^2 ω = (λ m + m^2 ω) $$

$$ n^2 ω = m (λ + m ω) $$

y otra vez, porque (m, n) = 1, debe ser: ω = m k

$$ n^2 k = (λ + m^2 k) $$

$$ (n^2 - m^2) k = λ $$

siendo la única restricción: (m, n) = 1

Por lo tanto, todas las soluciones son de la forma:

$$ x = k n (n^2 - m^2) $$ $$ y = k m (n^2 - m^2) $$ $$ z = k m^3 $$