¿Existe un teorema que dice: "Cada espacio métrico infinito que es completo, conexo y localmente conexo, es conexo por arcos"?
Sí, como ya mencioné en esta respuesta. Una prueba se encuentra en Hocking y Young. Es un resultado clásico de los años 1920.
Muchas gracias por esta información. Descubrí que era posible que un espacio métrico estuviera conectado y localmente compacto.
Muchas gracias por esta información. Descubrí que era posible que un espacio métrico infinito estuviera conectado y localmente conectado sin contener un solo arco. Pero al parecer esto fue demostrado recientemente.
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Según el artículo de MathWorld sobre conexidad arco, "cada espacio topológico localmente compacto, conectado y localmente conectado y metrizado es conexo por arcos". Por lo tanto, si estuvieras dispuesto a intercambiar la completitud por la compacidad local...
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Es incluso localmente conectado por arcos, y por lo tanto también conectado por arcos (ya que un espacio conectado localmente conectado por arcos también está conectado por arcos).
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@HagenvonEitzen también podemos generalizar a completamente metrizable.