Me preguntaba si hay un caso en el que se prefiera la forma integral de las ecuaciones de Maxwell sobre la forma diferencial. Si pudieras dar un ejemplo para cada una de las ecuaciones, realmente lo agradecería.
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tparker
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La integral formularios son útiles en (normalmente estática) situaciones en las que la carga/de la actual distribución es simétrica suficiente que usted puede utilizar un argumento de simetría para reemplazar la superficie de la/las integrales de línea con un simple producto de un campo uniforme de la fuerza tiempos de un área/longitud de un imaginario cerrado "Gaussiana " superficie" o "Amperian bucle".
También son útiles para averiguar el comportamiento de campo de un localizada de carga/corriente de la fuente - por ejemplo, se puede utilizar para mostrar que, no importa lo complicado que una estática localizada la distribución de carga, de muy lejos, se produce un campo eléctrico de la forma ${\bf E} = (Q/r^2)\, \hat{{\bf r}}$ donde $Q$ es la distribución de la carga eléctrica total.
Un amigo mío una vez asistió a una conferencia titulada "Una Defensa de la Integral de las Formas de las Ecuaciones de Maxwell", en la que un distinguido ancianos físico argumentó que la integral de las formas son infravalorados.
Jauder Ho
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3172
Tomar la interfaz de condiciones para electromagneticfields, por ejemplo,
$$ \vec n\cdot \Delta\vec D = \vec\rho_s$$
es decir, la componente normal de la $\vec D$ campo es continuo si no de la superficie de carga $\vec\rho_s$ está presente.
Para derivar que, imaginar un cuadro (o cilindro, prisma, etc) que pasa a través de la interfaz paralela al vector normal $\vec n$ (lo sentimos, no hay pic). Luego descomponer la superficie de la integral en la ley de Gauss tal que
$$\begin{align} \newcommand{\oiint}{\oint\!\!\!\!\!\int} % sorry... \iiint \rho\,dV &= \oiint \vec D\,d\vec n \\ &= \iint_\text{top&bottom} \vec D\, d\vec n + \iint_\text{side}\vec D\, d\vec n \\ \iint\int\rho\,dh\,dA &= \iint_A\underbrace{(D_1-D_2)}_{=\Delta\vec D}\, dA + \iint_\text{side}\vec D\, d\vec n \end{align}$$
La última línea de los usos que $\vec n_\text{bottom} = -\vec n_\text{top}$. Ahora vamos a la altura de la disminución a cero, lo $\iint_\text{side}\vec D\, d\vec n\to 0$ y definen $\int\rho\,dh\to\rho_s$. El área de la base de $A$ de la parte superior y la parte inferior es arbitrario, pues el integrando es también igual y nos acaba de obtener la interfaz de la condición anterior.
Ron Todosichuk
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Los mismos principios se aplican cuando normalmente se desea que el diferencial de la forma de algo frente a la forma integral.
Es como preguntar ¿para cuando quieres saber la distancia total y el tiempo de un viaje por carretera frente a la velocidad a la que estaba en un punto en particular.
Con una esfera cargada uniformemente, por ejemplo, puede utilizar la integral de la forma para obtener el flujo total en algún radio, y luego utilizar eso para inferir lo que el potencial en cualquier punto debido a la perfecta simetría de una esfera. No trabajo con un cubo!
La analogía sería si usted sabe que condujo a exactamente la misma velocidad a lo largo de un viaje por carretera, se podría calcular a qué velocidad se fue dividiendo la distancia total / tiempo total. No entonces, si hay un montón de iniciar y parar!
WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Dinámica De Ejemplo
Demostrar que no hay electromagnética de las antenas monopolo / fuentes
Una antena monopolo de campo es una variable de tiempo, esféricamente simétrica EM campo, es decir, un campo que es invariante a la rotación sobre el punto central.
Cualquier vector de campo debe ser dirigido radialmente, por lo que debe ser de la forma $\vec{F} = f(r,\,t)\,\mathbf{\hat{r}}$. Que tiene de si estamos hablando de campos eléctricos o magnéticos (véase la nota de pie de página al final de la discusión, a menudo, glosado-más puntos en el subyacente simetría argumento).
Aplicar Gauss la ley para el magnetismo mediante un esférico pastillero: se ve inmediatamente que el radial del campo magnético debe ser cero, de lo contrario no sería una central de carga magnética / esféricamente simétrica nett magnético de la distribución de carga.
Hacer lo mismo para la de Gauss, de la ley para el campo eléctrico: a la conclusión de que hay una esféricamente simétrica de la carga eléctrica de distribución.
Ahora, en primer lugar, supongamos que el Gaussiano pastillero es una esfera en el espacio exterior y que encierra todos los esféricamente simétrica de la carga y la fuente de corriente. Entonces, porque no hay manera de que cargue para cruzar este ámbito (por supuesto), la carga total dentro de los que debe ser constante, por la conservación de la carga, de modo que el campo eléctrico no puede ser variable de tiempo. Por lo tanto la única posible monopolar campo electromagnético separados de sus fuentes es el campo electrostático debido a un esféricamente simétrica la distribución de carga, y no hay monopolar antenas.
Más investigación a lo largo de estas líneas se muestra algo bastante peculiar a este problema. Supongamos ahora que el Gaussiano pastillero es una esfera dentro de la carga / de la distribución de la corriente. A continuación, el total encerrada cargo es $Q=4\,\pi\,\,r^2\,f(r,\,t)$ si el vector de desplazamiento es de $\vec{D} = f(r,\,t)\,\mathbf{\hat{r}}$, por lo que existe una radial de la densidad de corriente dada por:
$$4\,\pi\,r^2\,\vec{J} = -\frac{\mathrm{d}\,Q}{\mathrm{d}\,t}\,\mathbf{\hat{r}}\quad\Rightarrow \quad\vec{J} = -\partial_t f(r,\,t) \mathbf{\hat{r}}$$
Por supuesto, debemos tener $\vec{J}(0,\,t)=\mathbf{0}$. Como hemos visto, no puede ser cualquier campo magnético presente y, de hecho, el actual definido anteriormente exactamente cancela el desplazamiento eléctrico actual.
Por lo cargo en esta peculiar ejemplo pueden ser transportados de un lado a otro a lo largo de la radial dirigido corrientes, sin embargo, la radiación en general acelerado carga perfectamente y precisamente absorbida por compensatorias, al contrario acelerado, y el campo eléctrico estático permanece fuera de la variable en el tiempo de carga / distribución de corriente.
Algunos Comentarios Generales
Algunos un poco vago, pero creo que las palabras importantes antes de dar mi ejemplo. No es como si hay una dicotomía entre los dos enfoques, o que uno es "mejor" que el otro - uno es la limitante de la forma de la otra, y creo que casi siempre cuando pienso en intuitivamente sobre el electromagnetismo - en vez de hacer los cálculos - yo casi siempre se piensa en términos de la integral de las formas. Cuando veo un "curl" símbolo, siempre pienso que un poco de bucle, con el curl relacionadas con la integral alrededor del bucle del operando para el flujo de la curvatura del resultado a través del bucle - incluso si estoy trabajando con las formas diferenciales. Cuando veo un "div" símbolo, del mismo modo pienso un poco acotado, simplemente se conecta blob, con el div relacionados con el flujo del operando a través de la nota del límite para el volumen integral de la div del resultado sobre el blob. El electromagnetismo es casi siempre de blobs y lazos para mí, y muy a veces, el código de C++ (a menos que se puede conseguir a alguien para hacer esto!). Más tarde, si aún no lo ha hecho, usted aprenderá acerca de la unificación de posgrado, la curvatura y el div en el exterior derivados; siendo el primero el uno, dos y tres dimensiones especiales de la última (modulo menores de las convenciones mal estado por los inventores de grad, div y curl). Tomamos un poco de hyperblob - un delimitada $n+1$-colector con trivial límite, y un diferencial de $n$-forma que toma como entradas de $n$-vectores que definen un elemento de la frontera; podemos resumir el resultado para los vectores que definen una "triangulación" (o un "polytopization" si esa es la palabra) de la frontera. A continuación, se divide por el volumen de la hyperblob, el trabajo y el límite de este proceso como podemos reducir el hyperblob del volumen a cero. Todo lo que tenemos que hacer es demostrar que este proceso está bien definido (y es, para la adecuada supuestos de continuidad de los derivados de los formularios) y tenemos el significado del exterior derivado: la limitación de la forma de la suma sobre el "exterior" de colector de la forma en cuestión, dividido por el colector del volumen el volumen se reduce a la nada (me imagino que este es el origen del nombre de "exterior" derivado, pero nunca lo he comprobado esta de lujo la verdad). Los teoremas de Stokes y de Gauss son ahora sólo una parte de la definición, como su generalización en la generalizada del Teorema Fundamental del Cálculo Diferencial se cae de la bien-definedness de forma gratuita. Un rizo es, literalmente, un límite de la integral alrededor de un bucle, una divergencia de un límite de una superficie integral, y estos son los principales significados creo que uno debe asociarse con estas nociones, en lugar de dejarse distraído por las casi insondable simbólico lío que es a menudo estas cosas por escrito como de los componentes. Voy a dejar fuera de mi golpeando con una cita del título de la Sección 4.3 en Misner, Thorne y Wheeler, "Gravitación":
"Formas de Iluminar el Electromagnetismo, y el Electromagnetismo Ilumina las Formas"
que os exhorto a leer tan pronto como usted tiene un fondo que en las formas. Los autores tienen claramente una más vívida, casi poéticamente-visual de la forma de pensar.
Otro documento que me he encontrado en los últimos años sobre estos temas, cuya claridad me ha impresionado es los capítulos I a V de "Rápido y Sucio Introducción al Cálculo Exterior", es en sí mismo parte de la bellamente escrito CalTech conferencia del curso:
Peter Schröder, "Discretos Geometría Diferencial"
Nota: Simetría Esférica Implica Radial Campo de Vectores en un espacio de Tres Dimensiones
En tres dimensiones, un esféricamente simétrica vector de campo debe siempre ser dirigido radialmente.
Esto es debido a que, por la invariancia wrt rotación, $f$ no puede depender de $\theta$ o $\phi$. Si hubo un $\boldsymbol{\hat{\phi}}$ o $\boldsymbol{\hat{\theta}}$ componente de esta $\theta$ $\phi$- independiente de campo, constituye una nunca se desvanece, nonsingular campo de vectores en la superficie de la 2-esfera, negar el peludo teorema de la bola.
Tomamos nota también de un importante lado: también se puede ver que esta dirigido radialmente condición no necesita y no se sostiene, incluso en dimensiones esféricamente simétrica campos. Uno no podía llegar a esta conclusión si uno tuviera ocasión para hacer cuatro-espacial-dimensional electromagnetismo, por ejemplo.
Pero más práctica, no se mantienen en dos dimensiones: por lo tanto nos puede tener esféricamente simétrica puramente azimutal de campos magnéticos y eléctricos así como radial en problemas con simetría cilíndrica. Los vemos todo el tiempo alrededor de cables eléctricos!
