¿Existe una teoría de la integración en términos elementales para integrales definidas?

Question

Vamos a llamar a un número real explícito si puede ser expresado a partir de los enteros mediante el uso de las operaciones aritméticas, los radicales, exponentes, logaritmos, trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Para los números complejos $i$ es permitido además de los números enteros, y conseguimos lo Chow llama EL de los números. Los números racionales, $e=\exp(1)$ $\pi=\cos^{-1}(-1)$ son explícitas, algunos números algebraicos y de Euler $\gamma$ probablemente no lo son. Si una función tiene una escuela primaria anti-derivado a continuación, una integral definida con límites explícitos también es explícito. El recíproco no es cierto, $\int x^{-2}e^{-\frac1{x^2}}dx$ no es primaria, sino $\int_0^1 x^{-2}e^{-\frac1{x^2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ es explícito (este es el Gaussiano integral a la sustitución).

Hay una teoría de Liouville que permite demostrar que algunos anti-derivados no son de primaria, hay algo similar para las integrales definidas? Hubo una larga pregunta sin respuesta sobre el MSE sobre la computación $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac1{(1+x^2)(1+\tan x)}dx$, y el consenso fue que no es expresable en la escuela primaria términos. ¿Cómo hace uno para probar algo como eso?

EDIT: Ya no parece ser una teoría general no trivial ejemplo de una prueba para un caso en particular sería muy interesante. También, explícita o EL números de arriba son sólo un ejemplo, demostrando que no expressibility en otros términos razonables, sería interesante también.

Answer 1

Aquí hay un par de pasajes que podrían ser de utilidad a usted o a otros en la búsqueda de más información acerca de este tema:

José Fels Ritt (1893-1951), la Integración en Términos Finitos. Liouville la Teoría de la Primaria Métodos, Columbia University Press, 1948, ix + 100 páginas.

de la p. 60:

Nos gustaría presentar una clase de problemas en los que los números están implicados en lugar de funciones.

La clasificación de los números algebraicos o trascendental, es bien conocida. Un número es algebraico si satisface una ecuación algebraica con coeficientes enteros, no todos cero; de lo contrario, el número es trascendental.

Vamos a definir primaria número. Una expresión algebraica número se denomina número de orden cero. La exponencial de cualquier algebraica de números distintos de cero, o un logaritmo distinta de cero de un algebraica de números, va a ser llamado un monomio de fin de unidad. Un número de orden de la unidad es uno que no es algebraica y satisface una ecuación algebraica cuyos coeficientes son polinomios con coeficientes enteros, en monomials de orden uno. Continuando, tenemos seguro en la escuela elemental de números.

Surge de inmediato, por supuesto, el problema de la existencia de los números de todos los órdenes. La prioridad debería ser, tal vez dada a los problemas en el carácter de las raíces de la simple trascendental ecuaciones. Uno podría preguntar, por ejemplo, si la ecuación $$e^z = z$$ tiene una escuela primaria de la raíz. Estos son, por supuesto, los problemas de mayor dificultad que los que hemos venido estudiando.

Nota: Ritt dice nada más acerca de esta clasificación de los números en su libro.

Dmitri Dmitrievich Morduhai-Boltovskoi (1875-1952), En hypertranscendental funciones y hypertranscendental números (ruso), Doklady Akademii Nauk SSSR [= Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l''URSS] (N. S.) 64 (1949), 21-24.

Matemática Comentarios 10,432 f, por José Fels Ritt:

El autor designa una función como hyperalgebraic o hypertranscendental de acuerdo con lo que hace o no satisfacer algebraica de la ecuación diferencial (1) $f\left(x,\,y,\,y',\,\dots,\,y^{(n)}\right) = 0.$ Si (1) tiene números algebraicos para los coeficientes de una solución de $y$ llamado algebraicamente-hyperalgebraic si $y$ y su primera $n-1$ derivados asumir algebraica de los valores de algunas algebraicas valor de $x.$ Un valor de esta función para cualquier algebraicas valor de $x$ se llama hyperalgebraic número. Tales números se observan en una contables conjunto. Está demostrado que si una potencia de la serie representa una forma algebraica-hyperalgebraic función, los coeficientes se encuentran en un campo generado por un algebraica de números.

Nota: Para tener una idea de lo que se entiende por algebraica de la ecuación diferencial, ver mi respuesta (y mis comentarios adicionales) para las matemáticas StackExchange cuestión el concepto Ampliado de la primaria a la función?.

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