Evaluar

Question

Estoy intentando volver a aprender algunas matemáticas básicas y me doy cuenta de que he olvidado la mayor parte.

Evaluar$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^4+n^2+1}$ $

Llame a los términos$S_n$ y la suma total$S$.

ps

ps

Han pasado más de unos años desde que hice estas cosas.

Me gustaría una pista sobre qué método debería tratar de buscar?

Gracias.

Answer 1

INSINUACIÓN:

ps

Escribe$$n^4+n^2+1=(n^2-n+1)(n^2+n+1)$ como$2n$ $

Observe que si$$n^2+n+1-(n^2-n+1)$

que inmediatamente me recuerda a la Serie Telescópica.

Answer 2

Observe, use fracciones parciales de la siguiente manera$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^4+n^2+1}$$$$ = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {(n ^ 2-n + 1) (n ^ 2 + n + 1)} $$$$=\frac 12\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2-n+1}-\frac{1}{n^2+n+1}\right)$ $$$=\frac 12\lim_{n\to \infty}\left(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{13}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n^2-n+1}-\frac{1}{n^2+n+1}\right)\right)$ $$$=\frac 12\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{n^2+n+1}\right)$ $$$=\frac 12\left(1-0\right)=\color{red}{\frac 12}$ $