Breve secuencia exacta de grupos topológicos que se divide, pero no dividida topológicamente

Question

Considere la posibilidad de una secuencia exacta de los localmente compacto grupos $$1 \to A \overset{\iota}{\to} B \overset{\pi}{\to} C \to 1.$$ Naturally, I assume the homomorphisms are continuous. I should probably also assume that $\pi$ es un cociente de mapa, en el sentido topológico, pero vamos a salir de esta suposición fuera por ahora. Ahora, supongamos que existe un homomorphism $$r : B \to A$$ such that $r \circ \iota = \mathrm{id}_A$. Then, $b \mapsto (r(b), \pi(b))$ is a continuous, bijective homomorphism $B \a \times C$.

En razonable situación, uno espera que la inversa de mapa de $A \times C \to B$ a ser continua, de modo que $B \cong A \times C$ como grupos topológicos. Digamos que la secuencia es topológicamente split si esto se mantiene. Si la secuencia, es topológicamente split, entonces hay una continua homomorphism $s :C \to B$ tal que $\pi \circ s = \mathrm{id}_C$. Entonces, es evidente que una condición necesaria para que la secuencia se topológicamente split es

$\mathbf{(*)}$ Existe un abierto de vecindad $U$ $1$ $C$ y una función continua $s: U \to B$ (no se considera compatible con multiplicaiton!) con $s(1) = 1$ tal que $\pi \circ s = \mathrm{id}_U$.

Por otro lado, si $(*)$ sostiene, a continuación, $B$ es topológicamente split. De hecho, es suficiente para comprobar la continuidad de la inversa de la asignación de $A \times C \to B$ en el barrio de $A \times U$ $(1,1) \in A \times C$ y, en ese barrio, a la inversa está dada por la fórmula $(a,c) \mapsto \iota(a) s(c) \iota(r(s(c)))^{-1}$, de donde se continua. Por lo tanto, tenemos

La proposición: Considere la posibilidad de una secuencia exacta de los localmente compacto grupos $1 \to A \overset{\iota}{\to} B \overset{\pi}{\to} C \to 1$ y supongamos que hay un (continua) homomorphism $r : B \to A$$r \circ \iota = \mathrm{id}_A$. A continuación, la secuencia es topológicamente split si y sólo si $(*)$ mantiene decir, si y sólo si $\pi$ admite una sección continua, definida en una vecindad de a $1 \in C$.

Mi pregunta es la siguiente:

Pregunta: ¿Puede alguien pensar en un ejemplo en donde hay una continua, retracción de morfismos $r : B \to A$, pero la secuencia no es topológicamente split?

De manera equivalente, por la mencionada proposición, necesitamos tomar un ejemplo en donde la $B$ no es localmente trivial $A$-paquete de más de $C$. No son fáciles de ejemplos de este fenómeno: Tome $A = \{\pm 1\}^\mathbb{N}$, el infinito de productos de 2-grupos de elementos (un conjunto de Cantor); $B = C =\mathbb{T}^\mathbb{N}$, el infinito producto del círculo de grupo; $\iota$ la evidente inclusionl y $\pi$ el entrywise cuadratura del mapa. Esto da una breve secuencia exacta $$1 \to \{\pm 1\}^\mathbb{N} \overset{\iota}{\to} \mathbb{T}^\mathbb{N} \overset{(z_i) \mapsto (z_i^2)}{\to} \mathbb{T}^\mathbb{N} \to 1$$ donde $B$ no es un $A$-paquete de más de $C$, debido a $A$ no está conectado localmente, y $B$ es. Este ejemplo no ayuda con la pregunta, porque no hay retracción $B \to A$, pero muestra que la condición de $(*)$ no es automática. El punto es mostrar $(*)$ todavía no es automática, incluso si hay una retracción $B \to A$.

Answer 1

Yo, sin embargo, sobre esto un poco más, y creo que la respuesta es, si, hay una continua retracción homomorphism $B \to A$, entonces la secuencia es topológicamente split. No hay nada particularmente notable sobre el argumento, uno sólo tiene que jugar alrededor del punto establecido de la topología. También, la afirmación parece ir a través de arbitrarias de grupos topológicos, por lo que la asunción de localmente compacto grupos no es relevante.

Primero vamos a recordar algunas tonterías sobre grupos topológicos.

La proposición: Vamos a $G$ ser un grupo topológico, $N$ un subgrupo normal y $\pi : G \to G/N$ la proyección canónica. Dar $G/N$ el cociente de la topología. A continuación,

1. $\pi : G \to G/N$ es en realidad una carta abierta.
2. $G/N$ es un grupo topológico.

Prueba:

1. Supongamos $U \subseteq G$ está abierto. Tenga en cuenta que $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{x \in N} xU$ es abierto, por lo $\pi(U)$ está abierto por la definición de la topología cociente.
2. Desde que un producto de dos mapas abiertos es abierto, $\pi \times \pi : G \times G \to G/N \times G/N$ está abierto y, en particular, un cociente de mapa. Así, por la propiedad del cociente de topologías, un mapa de $f:G/N \times G/N \to Y$ es continua si y sólo si $f \circ (\pi \times \pi) : G \times G \to Y$ es continua. En particular, teniendo en $f$ a ser la multiplicación de mapa de $G/N \times G/N \to G/N$, tenemos que $(x,y) \mapsto \pi(x)\pi(y) = \pi(xy)$ es continua, lo que es porque es la composición de la multiplicación de mapa de $G \times G\to G$$\pi$.

Con estos resultados básicos recordó, llegamos a la demanda principal.

La proposición Deje $G$ ser un grupo topológico, $N$ un subgrupo normal, y $\pi : G \to G/N$ el estándar de proyección. Supongamos que existe un continuo homomorphism $r : G \to N$ tal que $r(x)=x$ todos los $x \in N$. Entonces, el continuo, bijective homomorphism $(r,\pi) : G \to N \times (G/N)$ tiene un continuo inversa, i.e $G \cong N \times (G/N)$ como grupos topológicos.

Prueba: Vamos a $s = [\pi|_{\ker(r)}]^{-1}$, de modo que a la inversa mapa es $(x,y) \mapsto x s(y) : N \times (G/N) \to G$. Claramente, para conseguir la continuidad, sólo tenemos que mostrar que $s$ es continua o, equivalentemente, que el $\pi|_{\ker(r)} : \ker(r) \to G/N$ es una carta abierta. Para este fin, tomar una arbitraria conjunto abierto en $\ker(r)$, decir $U \cap \ker(r)$ donde $U$ está abierto en $G$. Por la anterior proposición, $\pi(U)$ está abierto, pero tenemos el problema de que, muy posiblemente, $\pi(U \cap \ker(r)) \subsetneq \pi(U)$. Definimos un reemplazo para $U$ que no tiene este problema: $$U' = \{ x \in G: x r(x)^{-1} \in U\}.$$ Claramente $U'$ está abierto en $G$ y, debido a $xr(x)^{-1} = x$ al$x \in \ker(r)$,$U' \cap \ker(r) = U \cap \ker(r)$. También, para cualquier $x \in U'$, $\pi(x) = \pi(x r(x)^{-1})$ (desde $r(x)^{-1} \in N = \ker(\pi)$) donde $x r(x)^{-1} \in U \cap \ker(r) = U' \cap \ker(r)$ (desde $r(x r(x)^{-1}) = r(x)r(x)^{-1} = 1$), por lo $\pi(U \cap \ker(r)) = \pi(U' \cap \ker(r)) = \pi(U')$ está abierto en $G/N$, como se reivindica.

Así que sí, que es casi toda la historia, supongo. Nota, en el post original, me escribió: "probablemente debería también asumir que $\pi$ es un cociente de mapa, en el sentido topológico, pero vamos a salir de esta suposición fuera por ahora". Escribí esto porque esto viene de forma automática en el caso donde hay una sección local $C \to B$, pero en retrospectiva, creo que uno debe probablemente simplemente ignorar este daft comentario. Definitivamente quiero la 3ª grupo a como el cociente de la 2ª, en todos los sentidos.