Primera función de conteo desigualdad

Question

Parece ser el caso de que para cualquier entero$x > 1 $, tenemos$ x \leq 2^{\pi(x)} $

No estoy seguro de si esto es obviamente cierto, molesto o difícil de probar. Espero que sea el primero, y que estoy siendo débil. Estoy pensando en las líneas de factores primos de$x$, pero no puedo verlo. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias

Answer 1

Supongamos que$x$ es mínimo tal que$x>2^{\pi(x)}$. Dejar $y=\lceil x/2 \rceil$; entonces $2y\ge x>2y-2$. El postulado de Bertrand en su forma más fuerte asegura que haya un primo entre$y$ y$2y-2$ y, por lo tanto, entre$y$ y$x$, por lo que$\pi(x)\ge\pi(y)+1$ y, por lo tanto,$2^{\pi(x)}\ge 2\cdot 2^{\pi(y)}\ge 2y = x$, que es una contradicción.

Answer 2

En "Un Clásico de Introducción a la Moderna Teoría de números" por Irlanda y Rosen, muy cerca de obligado se obtiene por completo con medios elementales.

Assum $p_n \le x < p_{n+1}$ donde $p_i$ indica el $i$'th prime. Por definición, $\pi(x) = n$.

Considera los números hasta $x$: $\{1,2,\cdots, x \}$. Que son divisibles únicamente por los números primos entre los $\{ p_1, p_2, \cdots, p_{n} \}$. Si se descomponen los números en una parte de la plaza y de la plaza libre de parte, es decir, escribir $a = rs^2$ donde $r$ es un producto de distintos números primos y $s$ es un cuadrado, vemos que hay 2 limitaciones en $r,s$:

1. Desde $r$ es cuadrado-libre, debe ser un producto de distintos números primos entre los primeros a $n$ números primos. Sólo hay $2^{n}$ opciones para $r$.

2. Desde $s^2 \le a$, debemos tener $s \le \sqrt{a} \le \sqrt{x}$, por lo que hay en la mayoría de las $\sqrt{x}$ opciones para $s$.

Con todo, hay en la mayoría de las $2^n \times \sqrt{x}$ opciones para los números entre el$1$$x$: $$ x \le 2^{n} \sqrt{x} = 2^{\pi(x)} \sqrt{x}$$

Esto demuestra que $\pi(x) \ge \log_{2} \sqrt{x} = \frac{\log_{2} x}{2}$. $\blacksquare$

Del mismo modo, si la descomponemos los números en un $n$'th-potencia y un $n$-powerfree número, podemos encontrar: $$\pi(x) \ge \frac{\ln x (1-\frac{1}{n}) }{\ln n} $$ Pero $n=2$ ya da la mejor obligado. Yo creo que más tarde sobre la mejora de este a $\pi(x) \ge \log_2 x$ - creo que es posible con un método similar.