¿El Cantor establece un subconjunto de números racionales, y es contable o incontable?

Question

En el Capítulo 2 de Rudin de los Principios de Análisis Matemático, Rudin toma el conjunto de Cantor como un ejemplo de un conjunto perfecto en $\mathbb{R}^1$ que no contiene el segmento. Aquí está la construcción del conjunto de Cantor y de la prueba:

2.44 El conjunto de Cantor El conjunto que ahora vamos a construir muestra que existen perfecto establece en $\mathbb{R}^1$ que no contienen ningún segmento.

Deje $E_0$ ser el intervalo de $[0, 1]$. Eliminar el segmento $(\frac13,\frac23)$, y deje $E_1$ ser la unión de los intervalos $$[0,\frac13], [\frac23,1].$$ Retire el medio tercios de estos intervalos, y deje $E_2$ ser la unión de la los intervalos de $$[0,\frac19], [\frac29,\frac39], [\frac69,\frac79],[\frac89,1]$$ Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia de conjuntos compactos $E_n$, de tal manera que
(a) $E_1\supset E_2 \supset E_3 \dots $;
(b) $E_n$ es la unión de $2^n$ intervalos, cada uno de longitud $3^{-n}$.

El conjunto $$P=\bigcap_{n=1}^\infty E_n$$ es el llamado conjunto de Cantor. $P$ es claramente compacto, y el Teorema 2.36 muestra que $P$ no está vacío.

Ningún segmento de la forma $$\left(\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m}\right)\tag{24},$$ donde $k$ $m$ son enteros positivos, tiene un punto en común con $P$. Ya que cada segmento de $(\alpha,\beta)$ contiene un segmento de la forma (24), si $$3^{-m}<\frac{\beta-\alpha}6,$$ $P$ no contiene el segmento.

Para mostrar que $P$ es perfecto, es suficiente para demostrar que $P$ no contiene aislado punto. Deje $x \in P$, y deje $S$ ser cualquier segmento que contiene $x$. Deje $I_n$ ser que el intervalo de de $E_n$ que contiene $x$. Elija $n$ lo suficientemente grande, de modo que $I_n\subset S$. Deje $x_n$ ser un extremo de $I_n$, de tal manera que $x_n\ne x$.

De ello se deduce a partir de la construcción de la $P$ que $x_n\in P$. Por lo tanto $x$ es un punto límite de $P$, e $P$ es perfecto.

Uno de los más interesantes propiedades del conjunto de Cantor es que proporciona nosotros con un ejemplo de un innumerable conjunto de medida cero (el concepto de la medida será discutido en el Cap. 11).

Puedo seguir la prueba con un poco de esfuerzo, pero al final de esta sección Rudin afirma que el conjunto de Cantor es un ejemplo de un innumerable conjunto de medida cero. ¿Cómo puede el conjunto de Cantor ser innumerables? Corolario del Teorema 2.13 muestra el conjunto de todos los números racionales es contable. Teorema 2.8, muestra que cada subconjunto infinito de una contables conjunto es contable. Los elementos en el conjunto de Cantor son los puntos finales de todos los intervalos en $E_n$, se deduce que la construcción del conjunto de Cantor que estos puntos finales son todos los números racionales. Por lo tanto $P$ es un subconjunto de los números racionales y contables. ¿Hay algo malo con mi razonamiento aquí?

Answer 1

"Los elementos en el conjunto Cantor son los puntos finales de todos los intervalos en$E_n$ ..." Este es tu error. Esto no es cierto De hecho, escritos en expansión ternaria, los elementos del conjunto Cantor son precisamente esos elementos en$[0,1]$ con una expansión ternaria que consiste en$0$ s y$2$ s (donde notamos$0.01=0.00\bar{2}\in\mathcal{C}$, pero$0.0101\notin\mathcal{C}$, por ejemplo). Usando este hecho, no es difícil mostrar que$\frac{1}{4}\in\mathcal{C}$ pero$1/4$ no es un punto final de ningún intervalo.

Answer 2

Todos los extremos son, de hecho, en el conjunto de Cantor.

Pero debido a la intersección de conjuntos cerrados es cerrado de nuevo, esto significa que el conjunto de Cantor está cerrada y, de hecho, es la clausura del conjunto de todos los puntos.

En particular, esto significa que el límite de cualquier secuencia de los extremos, si existe, debe estar también en el conjunto de Cantor. De hecho, resulta que todos los puntos del conjunto de Cantor es de esta forma.

A ver que $1/4$ debe ser en el conjunto de cantor, observar es el límite de la secuencia de $s_n$ definido por

$$ s_n = \sum_{i=1}^n \frac{2}{9^i} $$

Si se dibuja la imagen de los primeros a $E_i$, vas a ver que $1/4$ es alternativamente en la izquierda y la derecha tercios de su intervalo, así que nunca se quita.

Para ver que esto sigue para siempre, toma nota de esta imagen es auto-similar: la ubicación de $1/4$ en el intervalo de $[2/9, 1/3]$ es proporcionalmente en el mismo lugar como lo es en $[0,1]$.

Answer 3

Los elementos del conjunto de Cantor son todos los extremos de los intervalos utilizados en la construcción. Tenga en cuenta que todos los puntos en $[0,1]$ el ternario de expansión de los cuales sólo ha $0$ $2$ (es decir, todos los números de la forma $\sum_{n=1}^\infty a_n3^{-n}$ donde $a_n\in \{0,2\}$ todos los $n$) se encuentran en el conjunto de Cantor.

Si $P$ es un espacio métrico completo sin puntos aislados, entonces no se puede contables. Si $U_n=P\setminus\{x_n\}$ donde $(x_n:n\in \mathbb{N})$ es la enumeración de algunos de $P$, entonces la Categoría de Baire teorema nos dirá que $\cap U_n$ es densa. Pero si $(x_n:n\in \mathbb{N})=P$, esta intersección es vacía, una contradicción.

Answer 4

Puede ver que$P=\cap_{n\geq 0}f^{-n}([0,1/3]\cup [2/3,1])$, donde$f(x)=3x$ si$x\in [0,1/3]$ y$f(x)=-3(x-1)$ se$x\in [2/3]$. De esto se sigue que P es homeomórfico a$\Sigma=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ dotado con métrica$d(\alpha, \beta)=2^{-N(\alpha, \beta)}$, donde$N(\alpha, \beta)=\min\{i; \alpha_i\neq \beta_i\}$. En particular, P es incontable.