La permeabilidad de la constante presheaf

Question

Deje $A$ ser un grupo abelian, y $X$ un espacio topológico. Definir la constante gavilla $\mathcal{A}$ $X$ determinado por $A$ como sigue: para cualquier conjunto abierto $U \subset X$,

$\mathcal{A}(U)=$el grupo de funciones continuas de $U$ $A$donde $A$ está dotado de la topología discreta; con las restricciones habituales obtenemos una gavilla.

Por otra parte, la constante presheaf $\mathcal{F}$ $A$ está definido por $\mathcal{F}(U)=A$ al $U \neq \phi$, de nuevo teniendo en cuenta las restricciones habituales de obtener un presheaf.

Se me pide que muestran que la sheafification de $\mathcal{F}$$\mathcal{A}$.Para esto, yo quería usar la característica universal de sheafification, y considera la aplicación $\theta :\mathcal{F} \to \mathcal{A}$, $\theta(U)(a):=s_a$, donde $s_a$ es la constante de la función en $U$, igual a $a$. Me las arreglé para demostrar que es una de morfismos de las poleas. pero dada una gavilla $\mathcal{G}$ y un morfismos $\varphi: \mathcal{F} \to \mathcal{G}$, estoy teniendo problemas para encontrar el único de morfismos $\psi :\mathcal{A} \to \mathcal{G}$ s.t. $\psi \theta =\varphi$

Answer 1

Deje $\mathcal{F}'$ ser la gavilla asociados a $\mathcal{F}$ y deje $\theta : \mathcal{F} \to \mathcal{F}'$ ser la canónica de morfismos. Recordemos que $\theta$ induce un isomorfismo entre los tallos en cada punto (Liu, 2.2.14); por lo tanto los tallos de $\mathcal{F}'$ $A$ en todas partes. Consideremos ahora los morfismos $\phi : \mathcal{F} \to \mathcal {A}$ que manda a cada elemento de a $A$ a la correaponding constante mapa. La característica universal de la gavilla asociados a $\mathcal{F}$ da un único morfismos $\psi : \mathcal{F}' \to \mathcal{A}$ a través de la cual $\mathcal{F}$ factores. Demostrar que esto es un isomorfismo, mostrando a la inducida por los mapas en los tallos son isomorphisms (Liu, 2.2.12). Para surjectivity, considerar por cualquier germen $f_x \in \mathcal{A}_x$ el germen de la sección $f(x)$, y utilice el hecho de que la continua asigna a un espacio discreto son localmente constante.

Answer 2

Llego tarde a la fiesta, pero aquí está la respuesta de referencia bien a la pregunta de cómo definir los morfismos $\psi$ en la verificación de la universal de los bienes, como se pide en la pregunta original.

Deje $f \in \mathcal{A}(U)$ $U \subseteq X$ abierto. La observación clave es que el $\{f^{-1}(a)\}_{a \in A}$ formas una de a pares distintos abra la cubierta de $U$. Por lo que es suficiente para especificar el valor de $\psi(U)(f)|_{f^{-1}(a)}$ por cada $a \in A$. La condición de $\psi \circ \theta = \varphi$ nos obliga a definir $\psi(U)(f)|_{f^{-1}(a)} = \varphi(U)(a)$. Definir $\psi(U)(f)$ a de la sección en $\mathcal{F}(U)$ obtenido por el encolado de estas juntas.