Intuición detrás del operador graduado

Question

Estoy bastante seguro de que esta pregunta tiene una respuesta muy sencilla y yo soy no sólo a la comprensión de la imagen geométrica muy bien, sin embargo me puede a través de una pregunta sobre el gradiente de operador que se me hizo un poco inseguro en cuanto a lo que hace. El gradiente de un campo escalar puntos en la dirección de mayor tasa de cambio. Ahora si tengo una superficie dada por $f(x,y,z)$, entonces la normal a la sruface se puede encontrar tomando el gradiente de $f$ en ese punto. Intuitivamente, esto también tiene sentido para mí. El cambio es cero a lo largo del plano tangente, así que la mayor tasa de cambio debe ser normal a la superficie.

Sin embargo, yo estaba haciendo una pregunta que se le dio a una superficie y, a continuación, se le preguntó en qué dirección de mármol rodaría si se coloca en un punto determinado de la superficie. Ahora al principio pensé que el mármol iba a rodar en la dirección de mayor tasa de cambio - es decir, una bola sobre una colina que se extenderá hasta donde el potencial disminuirá más rápidamente. Me gustaría tener el degradado y, a continuación, tomar la dirección en la que f es decreciente en comparación con el aumento.

Sin embargo, si el gradiente es normal a la superficie, luego de mármol sería expulsada directamente fuera de la superficie? Esto no es lo que sucede!

Ahora tengo una corazonada de lo que podría ser el problema aquí, aunque no estoy seguro. Creo que el problema es doble. En primer lugar, la descripción matemática permite la posibilidad de que el mármol que pasa a través de la superficie o saliendo de ella. En segundo lugar, creo que estoy mezclando las superficies y los campos escalares que no son las superficies. Tal vez en el caso de la física, de hecho tengo un campo escalar (no una superficie), que describe la energía potencial Y la superficie en la que el mármol está restringido a moverse, y el mármol se moverá en la dirección de mayor tasa de disminución de la energía potencial, mientras que todavía siendo limitada en la superficie.

Que parece creo que a la derecha...

Answer 1

En el primer caso, la curva está dado por $f(x,y,z)=0$. Sólo entonces se $\nabla f$ darle la normal a la curva en un punto. La razón de esto es que el $\nabla f$ puntos en la dirección de incremento máximo de f y si no fuera normal, tendría una componente a lo largo de la curva y el valor de f a lo largo de la curva de cambio, lo que contradice la curva, siendo el conjunto de los puntos donde se $f(x,y,z)=0$.

En el segundo caso, usted desea expresar z en términos de x y y. Sólo entonces, cuando usted tome el gradiente $\nabla z$, NO $\nabla f$ va a ser apuntado en la región de más brusco aumento. La diferencia es que desea la mayor incremento en z, no f.

Answer 2

Su superficie, llamémosla$S,$ no está dada por$f(x,y,z),$ sino por una ecuación de la forma$f(x,y,z) = \text { constant }.$ (Tal vez eso es lo que querías decir, pero es bueno tener claro esto). Si pensamos que la variable$z$ representa la altitud, podemos hacer esto: Let$p\in S.$ Lo que está buscando es el vector de unidad$(a,b,c)$ tangente a$S$ en$p$ con el valor más pequeño de$c.$ Ese vector de unidad apuntará en la dirección deseada.