Demostrando $\lim_{x\to 0}f(x)=\infty$.

Question

Supongamos que tenemos una función de $f:[0,\infty)\to \mathbb{R}$ tal que para cada a $N\in\Bbb{N}$ y cada secuencia de $\delta_n>0$ tal que $\lim_{n\to\infty}\delta_n=0$ existe $n$ que $f(\delta_n)\geq N$.

Eso no implica que $$\lim_{x\to 0}f(x)=\infty?$$

Estoy confundido acerca de esto, porque me gustaría, en primer lugar, creo que debemos tener $f(\delta_n)\geq N$ para todos los $n$ lo suficientemente grande, para concluir que $f(x)\to\infty$. Pero aquí, para cada secuencia $\delta_n$ sólo tenemos una $n$ que $f(\delta_n)\geq N$. Pero no puedo pensar en ningún contraejemplo, así que tal vez la afirmación es verdadera. Cómo demostrarlo?

Answer 1

El hecho de que la declaración que funciona a través de todas las secuencias $\{\delta_n\}$ es muy fuerte. Tenga en cuenta que para cualquier secuencia $\{\delta_n\}$, considerar el subconjunto de los $n\in \Bbb N$ tal que $f(\delta_n) < N$, luego de que el conjunto es finito. De lo contrario, deje que el conjunto sea de la forma $\{n_1, n_2, \ldots\}$ y ahora en lugar de considerar la secuencia de $\{\delta_{n_i}\}$. Tenga en cuenta que$\delta_{n_i} \to 0$, por lo que tenemos un poco de $k$ tal que $(\delta_{n_k}) \ge N$, una contradicción.

El deseado límite es, de hecho,$\infty$, y para ver esto, supongamos que la negación tiene. Esto significa que hay algunos $N$ tal que para cada a $\delta>0$ hay algo de $x$ tal que $x\in [0, \delta)$$f(x) < N$. Se debe tener claro cómo generar un contradictorio secuencia $\{\delta_n\}$ a partir de esta información.